K

KpssAsistanım

KPSS Hazırlık Platformu

Giriş YapÜcretsiz Başla

KPSS / Matematik

İşçi-Havuz Problemleri

KPSS Matematik için yayındaki konu özeti, test girişi ve çalışma kağıdı akışı bu sayfada bir arada.

Konu özeti

Temeli netleştir, sonra teste geç

İşçi-Havuz Problemleri — KPSS Matematik Konu Anlatımı

İki musluk aynı havuza akıyor, biri belki de gizlice boşaltıyor; iki usta aynı duvarı örüyor, biri yarıda bırakıp gidiyor. Korkutucu görünür ama bu konu, doğru mantıkla neredeyse mekanik çözülür. Kalbinde tek bir fikir var; onu kavradığın an hataların yarısı buharlaşır:

🔑 Tek Altın Cümle Süreler toplanmaz, HIZLAR toplanır.

"İki işçi birlikte çalışınca süreyi mi toplayayım?" diye düşündüğün an dur: birlikte çalışınca iş daha çabuk biter, yani süre küçülür — demek ki toplanan şey süre değil, hızdır.

KPSS'de Bu Konu Nerede Duruyor?

İşçi-havuz, "Problemler" başlığının her yıl gelen, mantığı oturmuş adayın kaçırmaması gereken alt konusudur.

  • ÖSYM ortalama 1-2 soru sorar; genelde orta zorlukta.
  • Doğrudan orantı (özellikle ters orantı) becerisinin uygulamasıdır.

📊 En sık gelen dört alt başlık

  1. Birlikte çalışma süresi (iki-üç işçi/musluk)
  2. Dolduran-boşaltan musluk (net süre)
  3. Ara verip devam etme (sırayla çalışma)
  4. İşçi sayısı – süre ters orantısı

🎯 Sınav Refleksi: Soruyu okur okumaz herkesin birim zamandaki işini (1/süre) bir kenara yaz. Bunu yaptığın an sorunun yarısı çözülmüş olur.

1. Üç Altın Kural

Kural 1 — Birim Zamandaki İş = 1 / Süre

Bir işi a sürede bitiren işçi/musluk, birim zamanda işin 1/a'sını yapar. Yani hız = 1 / süre. 5 günde bitiren işçi günde 1/5; 8 saatte dolduran musluk saatte 1/8.

Kural 2 — Birlikte Çalışmada HIZLAR Toplanır

1/a + 1/b = 1/x   →   x = (a * b) / (a + b)

Boşaltan bir musluk varsa hızı çıkarmaya girer.

⚠️ Sık Hata (en büyüğü): Süreleri toplamak (a + b). Kesinlikle yanlış. Birlikte çalışınca iş hızlanır, süre azalır — süre toplarsan süre artar, mantığa terstir.

Kural 3 — Yapılan İş Parçalarının Toplamı = 1

(A'nın yaptığı) + (B'nin yaptığı) + ... = 1   (tam iş)

Bir işin önce 1/3'ü, sonra 1/4'ü, sonra kalanı yapılıyorsa parçaların toplamı daima 1'dir.

2. Birim İş Mantığını Kurma

t sürede yapılan iş = t × (1/a) = t / a.

📐 Çözümlü Örnek 1: Bir işi 6 günde bitiren işçi 2 günde ne kadarını yapar? Günlük 1/6; 2 günde 2 × 1/6 = 1/3 (üçte biri).

📐 Çözümlü Örnek 2: Havuzu 10 saatte dolduran musluk 4 saatte ne kadarını doldurur? Saatlik 1/10; 4 saatte 4 × 1/10 = 2/5 (beşte ikisi).

💡 Püf Noktası: Tüm konunun kalbi budur — önce herkesin BİRİM zamandaki işini yaz, sonra topla ya da çıkar.

3. Birlikte Çalışma — "Çarpı Bölü Toplam"

İki işçi için kısayol:

x = (a * b) / (a + b)

📐 Çözümlü Örnek 3: A 12 günde, B 6 günde bitiriyor. Birlikte? x = (12 * 6) / (12 + 6) = 72 / 18 = 4 gün. Kontrol: en hızlı B 6 gündü; 4 < 6 ✅.

Üç işçide formülle uğraşma, hızları topla:

📐 Çözümlü Örnek 4: A 4, B 6, C 12 günde. Üçü birlikte? 1/x = 1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2 → x = 2 gün.

⚠️ Sık Hata (kritik kontrol): Birlikte süre HER ZAMAN en hızlı işçinin süresinden bile küçüktür. Daha büyük bulduysan kesin hata var.

4. EKOK (Hacim Atama) Yöntemi — Kesirden Kurtul

İşi/havuzu, sürelerin EKOK'u kadar birim kabul edersen her hız tam sayı çıkar; kesirle hiç uğraşmazsın.

📐 Çözümlü Örnek 5: A 4 günde, B 6 günde. Birlikte? İş = EKOK(4, 6) = 12 birim. A günde 12/4 = 3, B günde 12/6 = 2, birlikte 5 birim. Süre = 12 / 5 = 2,4 gün.

📐 Çözümlü Örnek 6 (üç işçi): A 6, B 8, C 12 günde. İş = EKOK(6, 8, 12) = 24. Günde 4 + 3 + 2 = 9 birim. Süre = 24 / 9 = 8/3 gün (≈ 2,67).

🎯 Sınav Refleksi: İki işçide çarpı bölü toplam; üç ve daha fazlada ya da ara-verme senaryolarında EKOK yöntemi. ÖSYM çözümlerinin en sık kullandığı pratik budur.

5. Havuz — Dolduran ve Boşaltan

Tek fark: işi geri alan (boşaltan) elemanlar olabilir.

Dolduran musluk:  +1/a        Boşaltan gider:  −1/b
Net hız = (dolduranlar) − (boşaltanlar)        Dolma süresi = 1 / net hız

📐 Çözümlü Örnek 7: 8 saatte dolduran musluk + 12 saatte boşaltan gider birlikte. Havuz boşken kaç saatte dolar? Net = 1/8 − 1/12 = 3/24 − 2/24 = 1/24 → 1 / (1/24) = 24 saat. (Pozitif → gerçekten doluyor ✅.)

📐 Çözümlü Örnek 8 (denge): Dolduranlar 6 ve 12 saat, gider 4 saat. Dolar mı? Net = 1/6 + 1/12 − 1/4 = 2/12 + 1/12 − 3/12 = 0 → havuz asla dolmaz, seviye sabit kalır.

⚠️ Sık Hata: Dolduranı topla, boşaltanı çıkar. Net hız negatifse havuz boşalır, dolmaz — işaret kontrolü şart.

6. Ara Verme / Sırayla Çalışma

Kural 3'ün uygulaması: her aşamada yapılan işi (süre × hız) yaz, hepsini topla, tam işe eşitle.

📐 Çözümlü Örnek 9: A 10, B 15 günde. Önce A yalnız 4 gün, kalanı B bitiriyor. B kaç gün? İş = EKOK(10, 15) = 30. A günde 3, B günde 2. A: 4 × 3 = 12 birim. Kalan 30 − 12 = 18. B süresi = 18 / 2 = 9 gün.

📐 Çözümlü Örnek 10: A 12, B 6 günde. Birlikte 2 gün çalışıp A ayrılıyor, kalanı B bitiriyor. B toplam kaç gün? İş = 12 birim. A günde 1, B günde 2. İlk 2 gün: (1 + 2) × 2 = 6 birim. Kalan 6 birim B'de: 6 / 2 = 3 gün. B toplam 2 + 3 = 5 gün.

💡 Püf Noktası: Panik yapma; her dilimde "kim, ne kadar süre" yaz, süre × hız ile o aşamanın işini bul, topla, tam işe eşitle. Bu sorular hızdan çok dikkat ister.

7. İşçi Sayısı – Süre – İş Miktarı (Birleşik Orantı)

İşçi sayısı artarsa süre azalır (ters); iş miktarı artarsa süre artar (düz):

(İşçi × Gün × Günlük Saat) / İş = SABİT
Kısayol: m işçi a günde → n işçi (m * a) / n günde

📐 Çözümlü Örnek 11: 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. 15 işçi kaç günde? (6 * 10) / 15 = 60 / 15 = 4 gün. (İşçi arttı, süre azaldı ✅.)

📐 Çözümlü Örnek 12 (birleşik): 5 işçi günde 8 saat, 1 duvarı 6 günde örüyor. 3 işçi günde 10 saat, 2 duvarı kaç günde? (5 * 6 * 8) / 1 = (3 * x * 10) / 2 → 240 = 15x → x = 16 gün.

⚠️ Sık Hata: Günlük çalışma saatini denkleme katmayı unutmak — en çok atlanan terim.

8. Farklı Verimli İşçiler (Kat İlişkisi)

Bir işçi diğerinin k katı hızlıysa süresi 1/k katına düşer (ters orantı). En güvenli yöntem: en yavaşın hızına "1 birim" de.

📐 Çözümlü Örnek 13: A, B'den 2 kat hızlı. B 18 günde bitiriyorsa A kaç günde? A'nın süresi = 18 / 2 = 9 gün.

📐 Çözümlü Örnek 14: A, B'den 3 kat hızlı. Birlikte 6 günde bitiriyorlar. A tek başına? B hızı 1, A hızı 3 birim. Birlikte 4 birim. İş = 4 × 6 = 24 birim. A: 24 / 3 = 8 gün.

9. ÖSYM'nin Gizli Havuzu — Çıkmış Soru Tipleri

Tip 1 — Birlikte Süre: İki/üç musluk birlikte → hızları topla, tersini al (ya da çarpı bölü toplam).

Tip 2 — Dolduran-Boşaltan: Net hız = dolduran − boşaltan; tersini al; işarete bak.

Tip 3 — Ara Verme: "A yarılayıp ayrılır, B tamamlar" → yapılan iş parçaları = 1 (ya da EKOK toplam birim).

Tip 4 — Birleşik Orantı: İşçi × gün × saat / iş = sabit; günlük saati unutma.

Tip 5 — Birinden Diğerini Bulma: Birlikte ve birinin süresi verili → 1/B = 1/(birlikte) − 1/(bilinen).

Tip 6 — Kat İlişkisi: Verimler oranlı → en yavaşa 1 birim de, tam sayılarla yürü.

📐 Çözümlü Örnek 15 (Tip 5): A ve B birlikte 4 günde; A tek başına 12 günde. B tek başına? 1/4 = 1/12 + 1/B → 1/B = 3/12 − 1/12 = 2/12 = 1/6 → B = 6 gün.

🎯 Sınav Refleksi: Soruyu okurken "bu hangi tip?" diye sınıflandır; doğru kalıbı tanıdığın an yöntem otomatik gelir.

10. On Ölümcül Tuzak

⚠️ Kaybedilen puanların neredeyse tamamı buradan:

  1. Süreleri toplamak (a + b) — en büyük hata; hızlar toplanır.
  2. Birlikte süreyi ortalama sanmak (en hızlıdan bile küçüktür).
  3. Boşaltanın hızını toplamak (çıkarılır).
  4. Kısmi işte miktarı 1 almak (yarısıysa 1/2 yaz).
  5. Ters orantıyı düz sanmak (işçi artınca süre azalır).
  6. Günlük çalışma saatini denkleme katmamak.
  7. EKOK'u yanlış hesaplayıp hızları tam sayı çıkaramamak.
  8. Birim uyumsuzluğu (gün / saat / dakika).
  9. Net hız negatifken havuzun dolduğunu sanmak.
  10. Sorulanı yanlış okumak (birlikte mi, tek mi, iş kesri mi?).

11. Altı Adımlık Algoritma + Formül Tablosu

🎯 Her soruda izle:

  1. Oku — kim/hangi musluk, süreler, dolduran mı boşaltan mı, kim ne zaman. Sorulanın altını çiz.
  2. Birim iş yaz — herkesin 1/a'sı; kesirden kaçmak için EKOK birim kullan.
  3. Topla/çıkar — dolduran ve birlikte çalışanları topla, boşaltanı çıkar → net hız.
  4. Kur — "parçalar toplamı = 1" ya da "net hız × süre = iş".
  5. Çöz — süre, işçi sayısı ya da iş kesrini bul.
  6. Kontrol et — birlikte süre en hızlıdan küçük mü? İşaret doğru mu? Sorulanı mı buldun?

📊 Formül Özeti

  • Birim zamanda iş = 1 / süre.
  • İki kişi: 1/x = 1/a + 1/b → x = (a * b)/(a + b) ; üç kişi: 1/x = 1/a + 1/b + 1/c.
  • Dolduran − boşaltan: 1/x = 1/a − 1/b ; net hız negatifse dolmaz.
  • t sürede iş = t / süre ; yapılan parçalar toplamı = 1.
  • EKOK yöntemi: iş = EKOK(...) birim → hızlar tam sayı.
  • Birleşik orantı: (İşçi * Gün * Saat) / İş = sabit ; ters: m işçi a gün → n işçi (m*a)/n gün.

Kapanış — Hızı Toplamayı Öğrendin

Buraya kadar geldiysen artık her işçi-havuz sorusunda önce "1/süre" yazıp sonra topladığını/çıkardığını biliyorsun. Bu konu zekâdan çok sistem ister: üç altın kural (1/süre, hızlar toplanır, parçalar = 1) ve doğru yöntemi seçmek.

🔑 Son hatırlatma: Süreler toplanmaz, HIZLAR toplanır.

Şimdi bol soru çöz; her yanlışında "süre mi topladım, boşaltanı mı eklerim, saati mi unuttum?" diye bu rehbere dön. Burada kazandığın "birim üzerinden orantı kurma" becerisi seni Yüzde ve Kâr-Zarar'da da bekliyor — aynı orantı mantığını oraya taşıyacaksın. 💪

Önemli kavramlar

Birim Zamandaki İş = 1 / Süre

Bir işi (veya havuzu) X sürede bitiren bir işçi/musluk, birim zamanda işin 1/X'ini yapar. 6 günde biten iş için günlük hız 1/6'dır. Tüm İşçi-Havuz problemlerinin temeli budur: önce her çalışanın birim zamandaki payını (1/süre) yaz, sonra bunları birleştir. İşin tamamı her zaman 1 (bir bütün) kabul edilir.

Birlikte Çalışmada HIZLAR Toplanır, Süreler Değil

İki çalışan birlikteyse hızları toplanır: 1/a + 1/b. Asla süreleri toplama! A 12, B 6 günde bitiriyorsa birlikte hız 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4 olur, yani 4 günde biter. Sonuç DAİMA en hızlı çalışanın süresinden küçük çıkmalı; büyük çıktıysa hata vardır. Süreleri toplayıp 18 demek en sık yapılan tuzaktır.

Yapılan İş Parçalarının Toplamı = 1

Sırayla/ara vererek çalışmada her aşamada yapılan işi ayrı hesapla ve topla; toplam tam işe (1) ulaşınca iş biter. Bir çalışan t süre çalışırsa yaptığı iş = hız × süre = t/X. Tüm parçaların toplamı 1 olacak şekilde bilinmeyen süreyi bulursun. 'Kalan iş' = 1 − (o ana kadar yapılan) formülü her çok-aşamalı soruda kullanılır.

EKOK ile Havuz Hacmi Atama (Kesirden Kurtul)

Kesirlerle uğraşmamak için işin tamamına, sürelerin EKOK'unu hacim olarak ata. Süreler 16, 48, 24 ise iş = EKOK = 48 birim; her çalışanın birim-zaman üretimi 48/süre = tam sayı olur (3, 1, 2 birim). Sonra toplama-çıkarma tam sayılarla yapılır, sonuç süre = kalan birim / net hız. Hız problemlerini hızlandıran en pratik yöntemdir.

Havuz Problemleri — Dolduran (+) ve Boşaltan (−)

Dolduran musluk işi artırır (+1/a), boşaltan gider azaltır (−1/b). Net hız = dolduranlar toplamı − boşaltanlar toplamı. Net pozitifse havuz dolar, negatifse boşalır. Boşaltma süresi sorusunda mevcut su miktarını net (negatif) hıza bölersin. Gider doldurandan hızlıysa havuz hiç dolmaz; işaret kontrolü şarttır.

Ara Verme / Sırayla Çalışma

Önce yalnız A çalışır, sonra B katılır, sonra biri ayrılır gibi senaryolarda her dönemi ayrı ele al: dönem süresi × o dönemdeki ortak hız = o dönemde yapılan iş. Dönem işlerini topla, kalanı (1 − toplam) son çalışanın hızına böl. Toplam süre = tüm dönem sürelerinin toplamıdır. Her dönemde 'kim çalışıyor' net belirlenmelidir.

İşçi Sayısı – Süre – İş (Birleşik/Ters Orantı)

İşçi sayısı ile süre TERS, iş miktarı ile DOĞRU orantılıdır. (İşçi × Gün × Saat) / İş = sabit. İki durumu oranlayıp bilinmeyeni bulursun: (i₁·g₁·s₁)/İş₁ = (i₂·g₂·s₂)/İş₂. İşçi artarsa süre azalır, iş artarsa süre/işçi artar. Saat (günlük çalışma) çarpana ayrı eklenir; üretim miktarı farklıysa paydaya yazılır.

Farklı Verimli İşçiler (Kat / Oran İlişkisi)

'A, B'den 2 kat hızlı' → A'nın hızı 2v, B'nin v. '%50 daha verimli' → 1,5v. Hızları oran (3:2:1) cinsinden 3k, 2k, k yaz; birlikte hız = toplamları. Toplam işi birlikte süreden bul, sonra tek bir çalışanın süresini kendi hızına bölerek hesapla. Yavaş çalışanın tek başına süresi en uzun, hızlının en kısa çıkar.

Havuzun/İşin Bir Kısmı Önceden Bitmiş

Havuzun 1/3'ü doluysa doldurulacak kısım 1 − 1/3 = 2/3'tür; süre = kalan kısım / net hız. İşin 3/8'i bittiyse kalan 5/8'i ortak hıza bölersin. 'Yarısı dolu', 'çeyreği bitmiş' gibi ifadelerde önce KALAN kısmı bul, tüm işi (1) değil onu kullan. En sık hata kalan yerine tamamı üzerinden hesaplamaktır.

KPSS Tuzakları (İşçi-Havuz)

Süreleri toplama (hızları topla); 'birlikte süre' en hızlıdan küçük olmalı; net hız negatifse havuz dolmaz (boşalır); 'kalan iş' ile 'tüm iş' karışımına dikkat; saat/gün/işçi çarpanlarını eksiksiz al; sonucun pozitif ve anlamlı (tek çözüm) olduğunu doğrula. Soru 'toplam süre' mi, 'kalan süre' mi, 'tek başına süre' mi soruyor — net oku.

Hızlı örnek

Detaylı örnekler Worked Examples bölümünde.

Örnek çözümler

Konuyu soru üzerinden pekiştir

1 örnek

Mini Örnekler

ÖRNEK 1 (Birim İş ve t Sürede Yapılan İş - KOLAY)

SORU: Ali bir işin tamamını tek başına 12 günde bitirebilmektedir. Buna göre Ali, aynı çalışma hızıyla 4 gün çalışırsa işin kaçta kaçını bitirmiş olur?

  • A) 1/3
  • B) 1/4
  • C) 1/2
  • D) 2/3
  • E) 3/4

ÇÖZÜM: Konunun temel mantığı birim iştir. Ali işi 12 günde bitiriyorsa, 1 günde işin 1/12'sini yapar (Hız = 1/süre). 4 gün boyunca çalıştığında ise yaptığı toplam iş: 4 · (1/12) = 4/12 olur. Bu kesri 4 ile sadeleştirdiğimizde sonucun 1/3 olduğunu görürüz.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Soruyu hızlı okuyup, yapılan işi bulduktan sonra "kalan işi" (2/3) işaretlemek en yaygın okuma hatasıdır. Soru açıkça biten kısmı soruyor.

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 2 (Birim İş ve Kalan İş - KOLAY)

SORU: Bir musluk, tamamen boş bir havuzu tek başına 20 saatte doldurmaktadır. Bu musluk 5 saat açık bırakıldıktan sonra kapatılıyor. Buna göre havuzun kaçta kaçı boş kalmıştır?

  • A) 1/4
  • B) 3/4
  • C) 1/5
  • D) 4/5
  • E) 1/2

ÇÖZÜM: Musluk havuzu 20 saatte dolduruyorsa, 1 saatte 1/20'sini doldurur. 5 saat boyunca açık kalırsa: 5 · (1/20) = 5/20'sini, yani sadeleştirirsek 1/4'ünü doldurur. Soru bizden dolan kısmı değil, BOŞ kalan kısmı istemektedir. Tamamını 1 (bütün) kabul edersek: 1 - 1/4 = 3/4'ü boş kalmıştır.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: İşlemi yapıp 1/4'ü bulur bulmaz A şıkkına atlamak. ÖSYM, bulunması muhtemel ilk ara sonucu her zaman A şıkkına koyar.

⏱️ Süre Tahmini: 25 saniye

ÖRNEK 3 (Farklı Verimli İşçiler / Kat İlişkisi - KOLAY)

SORU: Ahmet'in çalışma hızı, Mehmet'in çalışma hızının 2 katıdır. Mehmet'in tek başına 24 günde bitirebildiği bir işi, Ahmet tek başına kaç günde bitirir?

  • A) 48
  • B) 36
  • C) 12
  • D) 8
  • E) 6

ÇÖZÜM: İşçi problemlerinde HIZ (Kapasite) ile SÜRE arasında kusursuz bir TERS ORANTI vardır. Ahmet'in hızı 2V, Mehmet'in hızı 1V'dir. Ahmet daha hızlı olduğuna göre işi daha KISA sürede bitirmelidir. Hızlar oranı 2'ye 1 ise, süreler oranı 1'e 2 olmalıdır. Mehmet (1V hızıyla) 24 günde bitiriyorsa; Ahmet (2V hızıyla) 24 / 2 = 12 günde bitirir.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: "Hızı 2 katıysa süresi de 2 katıdır" gibi ölümcül bir düz orantı hatasıyla 24 · 2 = 48 (A şıkkı) işaretlemek. Hızlı olan işi erken bitirir!

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 4 (İşçi Sayısı – Süre Ters Orantısı - KOLAY)

SORU: Aynı çalışma kapasitesine sahip 4 işçi, bir duvarı 15 günde örebilmektedir. Buna göre, aynı kapasiteye sahip 6 işçi aynı duvarı kaç günde örer?

  • A) 22,5
  • B) 20
  • C) 15
  • D) 10
  • E) 8

ÇÖZÜM: Bir işte çalışan sayısı artarsa, o işin bitme süresi azalır. Bu net bir ters orantıdır. Ters orantıda karşılıklı çarpımlar birbirine eşittir. 4 işçi --> 15 gün 6 işçi --> x gün Denklem: 4 · 15 = 6 · x 60 = 6x x = 10 gün.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: İşçi sayısındaki artışı düz orantı zannedip çapraz çarpım yapmak (4x = 90 -> x = 22,5). İşçi artarsa süre daima kısalır.

⏱️ Süre Tahmini: 25 saniye

ÖRNEK 5 (İki İşçi Birlikte Çalışma - KOLAY)

SORU: Can bir işi tek başına 12 günde, Cem ise aynı işi tek başına 24 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte çalışırsa bu işin tamamını kaç günde bitirirler?

  • A) 36
  • B) 18
  • C) 16
  • D) 12
  • E) 8

ÇÖZÜM: "Süreler toplanmaz, hızlar toplanır" kuralını uyguluyoruz. Denklem: 1/12 + 1/24 = 1/x (2 ile genişletelim): 2/24 + 1/24 = 3/24 3/24 = 1/x (Sadeleştirirsek 1/8 = 1/x) => x = 8. Pratik formül: x = (a·b) / (a+b) => (12·24) / (12+24) = 288 / 36 = 8 gün.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Günleri doğrudan toplamak (12+24=36) veya ortalamasını almak (18). Birlikte süre, daima en hızlı işçiden (12) bile küçük çıkmak zorundadır.

⏱️ Süre Tahmini: 30 saniye

ÖRNEK 6 (İki İşçi Birlikte Çalışma - ORTA)

SORU: Ali ve Veli bir işi birlikte çalışarak 6 günde bitirebilmektedir. Ali bu işi tek başına 10 günde bitirebildiğine göre, Veli tek başına kaç günde bitirir?

  • A) 15
  • B) 16
  • C) 18
  • D) 20
  • E) 24

ÇÖZÜM: Birlikte çalışma formülünü tersten kuracağız. Ali'nin hızı 1/10, Veli'nin hızı 1/v olsun. İkisinin güç birleşimi 1/6'yı vermelidir. 1/10 + 1/v = 1/6 1/v'yi yalnız bırakalım: 1/v = 1/6 - 1/10 Paydaları 30'da eşitleyelim (6'yı 5 ile, 10'u 3 ile genişletelim): 1/v = 5/30 - 3/30 1/v = 2/30 (Sadeleştirirsek 1/15) v = 15 gün.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Süreleri birbirinden doğrudan çıkarmak (10 - 6 = 4). Süreler üzerinde toplama-çıkarma yapılmaz, sadece 1/süre (hız) üzerinde işlem yapılır.

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 7 (Ara Verme / Birlikte Çalışıp Bırakma - ORTA)

SORU: Bir işi Ayşe 15 günde, Fatma ise 30 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başlayıp 6 gün çalıştıktan sonra Fatma işten ayrılıyor. Kalan işi Ayşe tek başına kaç günde bitirir?

  • A) 4
  • B) 6
  • C) 8
  • D) 9
  • E) 10

ÇÖZÜM: Birlikte 6 gün çalıştılar. 6 günlük işlerini bulalım: 6 · (1/15 + 1/30) = 6 · (2/30 + 1/30) = 6 · (3/30) = 18/30. Sadeleştirirsek işin 3/5'i bitmiştir. İşin tamamı 1 tam (5/5) olduğuna göre kalan iş: 1 - 3/5 = 2/5'tir. Ayşe işin tamamını 15 günde bitiriyorsa, 2/5'ini: 15 · (2/5) = 6 günde bitirir.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Yapılan işi (3/5) bulup heyecanla işlemi yarım bırakmak veya kalan işi (2/5) süresi 30 olan Fatma'ya yaptırmaya çalışmak.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 8 (Dolduran-Boşaltan Musluk - ORTA)

SORU: Boş bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte doldurmaktadır. Havuzun en dibinde bulunan B musluğu ise dolu havuzu tek başına 24 saatte boşaltmaktadır. İkisi aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

  • A) 6
  • B) 8
  • C) 12
  • D) 16
  • E) 32

ÇÖZÜM: A musluğu doldurduğu için hızı pozitiftir (+1/8). B musluğu boşalttığı için işi bozar, hızı negatiftir (−1/24). Havuzun dolma süresine x diyelim. 1/8 - 1/24 = 1/x Paydaları 24'te eşitleyelim: 3/24 - 1/24 = 1/x 2/24 = 1/x (Sadeleştirirsek 1/12) x = 12 saat.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: İki musluk da sanki dolduruyormuş gibi hızlarını toplamak (1/8 + 1/24 = 4/24 -> 6 saat). B musluğu "tahliye/boşaltan" ise mutlaka ÇIKARILMALIDIR.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 9 (Üç Musluklu Net Hız - ORTA)

SORU: Özdeş iki musluk, boş bir havuzu birlikte 6 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki bir tahliye musluğu ise dolu havuzu tek başına 12 saatte boşaltmaktadır. Üç musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

  • A) 6
  • B) 8
  • C) 10
  • D) 12
  • E) 18

ÇÖZÜM: İki musluk birlikte 6 saatte dolduruyorsa, bu iki musluğun "birleşik hızı" 1/6'dır. (Tek bir musluğu bulmamıza gerek yok, gücün tamamı 1/6). Boşaltan musluğun hızı ise 1/12'dir ve sisteme eksi (−) olarak etki eder. Net hız denklemi: (Dolduranların Toplamı) - (Boşaltanların Toplamı) = 1/x 1/6 - 1/12 = 1/x (2/12) - (1/12) = 1/12. Net hız 1/12 olduğuna göre havuz 12 saatte dolar.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Özdeş iki musluğun herbirinin 6 saatte doldurduğunu sanıp denklemi 1/6 + 1/6 - 1/12 şeklinde kurmak. "Birlikte 6 saatte" kelimesine dikkat!

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 10 (EKOK ile Havuz Hacmi Atama - ORTA)

SORU: Bir işi Kemal 20 günde, Leman ise 30 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başlayıp 6 gün çalıştıktan sonra Leman işten ayrılıyor. Buna göre kalan işi Kemal tek başına kaç günde bitirir?

  • A) 6
  • B) 7
  • C) 8
  • D) 9
  • E) 10

ÇÖZÜM: EKOK yöntemini kullanalım (Kesirlerden kurtulalım): 20 ve 30'un EKOK'u 60'tır. İşin tamamı 60 birim olsun. Kemal'in Hızı: 60 / 20 = Günde 3 birim. Leman'ın Hızı: 60 / 30 = Günde 2 birim. Birlikte 1 gündeki hızları: 3 + 2 = 5 birim. Birlikte 6 gün çalıştılar: 6 · 5 = 30 birim iş bitti. Kalan İş = 60 - 30 = 30 birim. Kalan işi hızı 3 olan Kemal bitirecek: Süre = Kalan İş / Kemal'in Hızı = 30 / 3 = 10 gün.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Kalan işi bulduktan sonra (12 birim), yanlışlıkla bunu ikisinin toplam hızına (3) veya giden Leman'ın hızına bölmek.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 11 (EKOK ile Kısmi Dolum - ORTA)

SORU: Boş bir havuzu A musluğu 12 saatte, B musluğu 24 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzu 24 saatte boşaltmaktadır. Üç musluk birlikte 4 saat açık kalırsa havuzun kaçta kaçı dolar?

  • A) 1/3
  • B) 1/4
  • C) 1/2
  • D) 2/3
  • E) 3/4

ÇÖZÜM: Yine EKOK yöntemini uygulayalım: EKOK(12, 24, 24) = 24. Havuzun kapasitesi 24 litre olsun. A'nın Hızı = 24/12 = +2 litre/saat (dolduruyor) B'nin Hızı = 24/24 = +1 litre/saat (dolduruyor) C'nin Hızı = 24/24 = −1 litre/saat (boşaltıyor) Net Hız = 2 + 1 - 1 = Saatte 2 litre. 3 musluk 4 saat açık kalırsa: 4 · 2 = 8 litre su dolar. Bize kaçta kaçının dolduğu soruluyor: Dolan Kısım / Havuzun Tamamı = 8 / 24 = 1/3.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Net hızı bulurken dalgınlıkla C musluğunun hızını da toplamak (2+1+1=4) ve havuzun 16/24 = 2/3'ünün dolduğunu sanmak.

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 12 (Ara Verme / İşin Bir Kısmı - ORTA)

SORU: Hasan bir işin 1/3'ünü 4 günde, Hüseyin ise aynı işin 1/2'sini 3 günde bitirebilmektedir. Buna göre ikisi birlikte çalışırlarsa bu işin tamamını kaç günde bitirirler?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 5
  • D) 6
  • E) 8

ÇÖZÜM: İşçi problemlerinde daima işin TAMAMININ bitme süresi üzerinden işlem yapılır. Hasan işin 1/3'ünü 4 günde yapıyorsa, tamamını (3/3) -> 4 · 3 = 12 günde yapar. Hüseyin işin 1/2'sini (yarısını) 3 günde yapıyorsa, tamamını -> 3 · 2 = 6 günde yapar. Artık sürelerimiz belli: Hasan=12, Hüseyin=6. Birlikte bitirme formülü: x = (a·b) / (a+b) x = (12 · 6) / (12 + 6) x = 72 / 18 = 4 gün.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: 4 gün ve 3 gün verilerini direkt olarak işin tamamının bitme süresiymiş gibi (1/4 + 1/3) denkleme sokmak. Verilen süre parçaya aittir, bütüne uyarlanmalıdır.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 13 (Ayrı Ayrı Çalışıp Yapılan İş - ORTA)

SORU: Bir işi tek başına Ozan 10 günde, Kaan ise 15 günde bitirebilmektedir. Bu işte Ozan 2 gün, Kaan ise 3 gün çalışırsa işin ne kadarlık kısmı bitmiş olur?

  • A) 1/5
  • B) 1/3
  • C) 2/5
  • D) 3/5
  • E) 1/2

ÇÖZÜM: Birlikte çalışmıyorlar, herkes kendi süresince çalışıp işe katkı sağlıyor. Ozan'ın 1 gündeki işi 1/10. 2 günde yaptığı iş: 2 · (1/10) = 2/10 = 1/5. Kaan'ın 1 gündeki işi 1/15. 3 günde yaptığı iş: 3 · (1/15) = 3/15 = 1/5. Toplam biten iş parçalarını toplayalım: 1/5 + 1/5 = 2/5.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Günleri toplayıp (2+3=5) ikisinin de 5 gün çalıştığını varsaymak veya "Birlikte çalışma" formülünü boş yere kurup gereksiz vakit kaybetmek.

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 14 (Farklı Verimli İşçiler ve Birlikte Süre - ORTA)

SORU: Bir ustanın çalışma hızı, çırağının çalışma hızının 3 katıdır. İkisi birlikte bir işi 9 günde bitirebildiklerine göre, usta tek başına aynı işi kaç günde bitirir?

  • A) 36
  • B) 27
  • C) 18
  • D) 12
  • E) 9

ÇÖZÜM: Hızlara değer verelim: Çırağın hızı = 1V Ustanın hızı = 3V Birlikte çalıştıklarında "Güçleri (Hızları) toplanır". Toplam Hız = 1V + 3V = 4V. 4V hızındaki bir ekip işi 9 günde bitiriyorsa, işin toplam büyüklüğü (Hız × Süre) = 4V · 9 = 36V olur. Bizden ustanın (3V hızlı olanın) süresini istiyor. Süre = Toplam İş / Hız Süre = 36V / 3V = 12 gün.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Birlikte bitirme süresi olan 9'u doğrudan ustanın hızı olan 3'e bölerek 3 gün veya çarparak 27 gün gibi asılsız sonuçlara ulaşmak.

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 15 (Birleşik Orantı Klasik Tip - ORTA)

SORU: Eşit kapasiteli 6 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 5 günde bitirebilmektedir. Aynı işi, bu işçilerle aynı kapasitedeki 4 işçi günde 5 saat çalışarak kaç günde bitirir?

  • A) 8
  • B) 9
  • C) 10
  • D) 11
  • E) 12

ÇÖZÜM: İşçi sayısı, çalışma saati ve gün sayısı varsa tek formülümüz "Birleşik Orantı" formülüdür. (İşçi1 · Saat1 · Gün1) / İş1 = (İşçi2 · Saat2 · Gün2) / İş2 Her iki durumda da "aynı iş" yapıldığı için İş1 ve İş2 birbirine eşittir (ikisini de 1 kabul edebiliriz). (6 · 8 · 5) / 1 = (4 · 5 · x) / 1 240 = 20x x = 240 / 20 = 12 gün.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Ters ve düz orantıları kafadan kurmaya çalışıp "işçi azaldı süre artar, saat azaldı süre yine artar" deyip sayıları yanlış yerlerde çarpmak. Formül hatasızdır!

⏱️ Süre Tahmini: 35 saniye

ÖRNEK 16 (Birleşik Orantı Kapsamlı Tip - ZOR)

SORU: Günde 6 saat çalışarak 4 günde 120 metrekare halı dokuyabilen 5 işçi vardır. Buna göre, aynı kapasitedeki 8 işçi günde 5 saat çalışarak 200 metrekare halıyı kaç günde dokur?

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 7
  • D) 8
  • E) 10

ÇÖZÜM: Yine birleşik orantı formülü. Ancak bu kez "İş" miktarı sabit değil, metrekare cinsinden farklı verilmiştir. (İşçi1 · Saat1 · Gün1) / İş1 = (İşçi2 · Saat2 · Gün2) / İş2

  1. Durum: İşçi=5, Saat=6, Gün=4, İş=120
  2. Durum: İşçi=8, Saat=5, Gün=x, İş=200 Yerine koyalım: (5 · 6 · 4) / 120 = (8 · 5 · x) / 200 120 / 120 = 40x / 200 1 = x / 5 İçler dışlar çarpımı yaparsak: x = 5 gün.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: İş miktarlarını (120 ve 200) yanlışlıkla pay (üst) kısmına yazıp diğer verilerle çarpmak. Yapılan İŞ her zaman formülün PAYDASINA (altına) yazılır.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 17 (Üç İşçi Ara Verme / Geçen Toplam Süre - ZOR)

SORU: Bir işi Ali 12 günde, Burak 18 günde ve Can 36 günde bitirebilmektedir. Üçü birlikte işe başlayıp 2 gün çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Kalan işi Burak ve Can birlikte bitiriyor. Buna göre işin tamamı toplam kaç günde bitmiştir?

  • A) 8
  • B) 10
  • C) 12
  • D) 14
  • E) 16

ÇÖZÜM: EKOK yöntemi hayat kurtarır. EKOK(12, 18, 36) = 36. İşin tamamı 36 birim olsun. Ali'nin Hızı = 36 / 12 = 3 br/gün Burak'ın Hızı = 36 / 18 = 2 br/gün Can'ın Hızı = 36 / 36 = 1 br/gün Üçü birlikte hız = 3 + 2 + 1 = 6 br/gün. 2 gün birlikte çalıştılar: 2 · 6 = 12 birim bitti. Kalan İş = 36 - 12 = 24 birim. Kalan işi Burak ve Can (Hızları toplamı = 2 + 1 = 3) yapacak: Kalan kısım için süre = 24 / 3 = 8 gün sürer. Bizden TOPLAM süre isteniyor: Başlangıçtaki 2 gün + Kalan kısım için 8 gün = 10 gün.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: 8 gün sonucunu bulur bulmaz şıklardaki (A) seçeneğini işaretlemek. ÖSYM "kalan işi" değil "işin tamamını" sorarak dikkat ölçer.

⏱️ Süre Tahmini: 90 saniye

ÖRNEK 18 (Havuzun Ortasındaki Musluk - ZOR)

SORU: A musluğu boş bir havuzu tek başına 12 saatte doldurmaktadır. Havuzun tam ortasında (yüksekliğin yarısında) bulunan B musluğu ise kendi seviyesinden üstte kalan dolu kısmı 12 saatte boşaltmaktadır. İkisi birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?

  • A) 12
  • B) 15
  • C) 18
  • D) 20
  • E) 24

ÇÖZÜM: Havuzu "Alt Yarı" ve "Üst Yarı" olarak ikiye bölmeliyiz. Alt Yarı: B musluğu ortada olduğu için alt yarıya etki edemez. Sadece A musluğu çalışır. A musluğu tamamını 12 saatte dolduruyorsa, alt yarısını 12 / 2 = 6 saatte doldurur. Üst Yarı: Su B'nin seviyesine geldiğinde B de çalışmaya başlar. Üst yarıyı A musluğu tek başına 6 saatte doldurur (Hız: 1/6). B musluğu ise bu üst yarıyı 12 saatte boşaltır (Hız: −1/12). Üst yarının net dolma hızı: 1/6 - 1/12 = 2/12 - 1/12 = 1/12'dir. Yani üst yarı 12 saatte dolar. Toplam Süre = Alt yarı (6 saat) + Üst yarı (12 saat) = 18 saat.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: B musluğunun en baştan itibaren çalıştığını varsayıp, tüm havuz için net hızı (1/12 - 1/24) gibi düşünerek soruyu temelden yanlış kurgulamak. Su seviyesi B'ye ulaşmadan B su akıtamaz!

⏱️ Süre Tahmini: 100 saniye

ÖRNEK 19 (EKOK ile Karma Üretim Hacmi - ZOR)

SORU: Bir usta 3 günde 5 çift ayakkabı, kalfası ise 4 günde 3 çift ayakkabı üretebilmektedir. İkisi birlikte aynı anda çalışarak 87 çift ayakkabıyı toplam kaç günde üretirler?

  • A) 24
  • B) 28
  • C) 32
  • D) 36
  • E) 42

ÇÖZÜM: Bu tarz sorularda, "1 gündeki" üretimi bulmak kesirli (5/3 ve 3/4) çıkacağı için zordur. Bunun yerine "gün" sayılarını eşitleyeceğiz (EKOK yöntemi). 3 ve 4 günın EKOK'u 12 gündür. İkisine de "12 gün boyunca çalışsalar ne üretirlerdi?" diye soralım. Usta: 3 günde 5 üretiyorsa, 12 günde (4 katı) -> 20 çift ayakkabı üretir. Kalfa: 4 günde 3 üretiyorsa, 12 günde (3 katı) -> 9 çift ayakkabı üretir. Birlikte: 12 günde toplam 20 + 9 = 29 çift ayakkabı üretirler. Hedefimiz 87 çift. 29 çifti 12 günde üretiyorlarsa, 87 çift (29'un 3 katı) için gereken süre 12'nin 3 katı olmalıdır: 3 · 12 = 36 gün.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Gün başına üretim miktarını kesirli yazıp payda eşitleme kaosunda boğulmak. Sürelerin ortak katında buluşmak en pürüzsüz yoldur.

⏱️ Süre Tahmini: 90 saniye

ÖRNEK 20 (Yüzdeli İşçi ve Süre Problemi - ZOR)

SORU: Belirli bir miktar işçi bir işi günde belli bir süre çalışarak 20 günde bitirebilmektedir. İşe başlamadan önce işçi sayısı %25 oranında artırılıp, günlük çalışma süreleri %20 oranında azaltılırsa aynı iş kaç günde biter?

  • A) 15
  • B) 16
  • C) 18
  • D) 24
  • E) 20

ÇÖZÜM: Bilinmeyenler yerine 100 vererek yüzdeleri kolayca hesaplayalım.

  1. Durum (Başlangıç): İşçi Sayısı = 100, Çalışma Süresi = 100 saat. İşin bitme süresi = 20 gün.
  2. Durum (Değişim): İşçi %25 arttı -> Yeni İşçi = 125. Süre %20 azaldı -> Yeni Süre = 80 saat. İşin bitme süresi = x gün. Birleşik orantı formülü (aynı iş için): (İşçi1 · Saat1 · Gün1) = (İşçi2 · Saat2 · Gün2) 100 · 100 · 20 = 125 · 80 · x 200.000 = 10.000 · x x = 200.000 / 10.000 = 20 gün.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: İşçi %25 artıyor, süre %20 azalıyor diyerek "+25 - 20 = %5 etkiler" gibi doğrusal bir mantık yürütmek. Orantılarda çarpım durumu esastır, net yüzde artış/azalışları toplanamaz.

⏱️ Süre Tahmini: 80 saniye

Başlangıç önerisi

Önce konu özetini ve örnek çözümleri incele, sonra testten başla. Giriş yaparsan çalışma planı ve streak takibi otomatik aktif olur.

Konu Testi