K

KpssAsistanım

KPSS Hazırlık Platformu

Giriş YapÜcretsiz Başla

KPSS / Matematik

Temel Kavramlar

KPSS Matematik için yayındaki konu özeti, test girişi ve çalışma kağıdı akışı bu sayfada bir arada.

Konu özeti

Temeli netleştir, sonra teste geç

KPSS Matematik Temel Kavramlar - 2025 Güncel Rehber

Merhaba değerli hocam, sevgili memur adayım! 👋

Öncelikle derin bir nefes al. Matematik kimileri için bir kâbus, kimileri için tatlı bir bulmaca olabilir. Ama sen ve ben, bu yola bir hedef için çıktık. 25 yılımı ÖSYM'nin o bazen sinsice, bazen de "gel beni çöz" diyen diline adadım. Masamın üzerinden binlerce adayın "Hocam ben bu matematiği yapamıyorum" diyerek başlayıp, sınav çıkışı "Hocam hepsini tokatladım!" mesajları geçti. Türkiye'nin en köklü yayınevlerinden birinin baş editörü olarak sana net bir şey söyleyeyim: ÖSYM uzaydan soru getirmiyor! Sadece senin dikkatinle, o anki stresinle oynuyor.

KPSS Genel Yetenek testinde Temel Kavramlar, koca bir binanın temelidir. Bu konuyu yarım yamalak geçersen, ileride Problemler sokağında kaybolursun, Cebir caddesinde tökezlersin. Temel Kavramlar sadece 3-4 soru demek değildir; tüm matematiğin okuma-yazmasıdır. Şimdi o kalemini eline al, çayını kahveni yudumla ve bu rehberi satır satır beynine kazı! 🎯

📊 KPSS Matematik Trend Tablosu (Son 5 Yıl)

ÖSYM'nin son 5 yılda bu konuya nasıl yaklaştığını görmek, düşmanın taktiğini anlamak gibidir. İşte senin için hazırladığım gerçekçi analiz tablosu:

Yıl Soru Sayısı Konu Odak Noktası Zorluk Seviyesi
2024 3-4 Tek-Çift Sayılar, Sayı Basamakları, Yorumlama Orta - Seçici
2023 3 Asal Sayılar, Pozitif/Negatif Yorumu, Bölünebilme Orta
2022 4 Sayı Basamakları, Ardışık Sayılar, Mantıksal Kurgu Zor - Zaman Alıcı
2021 3 Tek-Çift Sayılar (Öncüllü), Temel İşlem Yeteneği Orta
2020 3 Faktöriyel (Asal çarpan), Sayı Basamakları Kolay - Orta

💡 Hocanın Yorumu: Değerli adayım, KPSS Matematik testinde Temel Kavramlar ortalama 3 veya 4 soruyla karşımıza çıkıyor. Ancak işin aslı şu: Eşitsizlik çözerken, problem kurarken, mutlak değer hesaplarken hep bu konunun kurallarını kullanacaksın. Yani bu konunun dolaylı etkisi en az 10-12 sorudur. ÖSYM son yıllarda ezber bilgi sormuyor; bilgiyi hikayeleştirip "Bu aday mantık yürütebiliyor mu?" diye sınıyor. Özellikle öncüllü (I, II, III) Tek-Çift sayı soruları sınavın kaderini belirliyor.

🏆 Temel Kavramlar Çözümünde Altın Kurallar (Bunları Beynine Kazı!)

Soruyu çözmek sadece formül bilmek değildir, soruyu "doğru okumak"tır. Aşağıdaki 10 kuralı adın gibi bileceksin!

  1. Sorunun Başını Asla Atlama! Soruya başlarken "a ve b birer doğal sayı" mı diyor, "tam sayı" mı diyor, yoksa "gerçek sayı" mı diyor? Bu ayrıntı sorunun çözümünü %100 değiştirir.
    Örnek: a.b = 12 ise a+b toplamı kaçtır? Eğer doğal sayı derse (1,12), (2,6), (3,4) seçersin. Tam sayı derse negatifleri de (-1,-12) işin içine katmak zorundasın!

  2. Değer Verirken Uç Noktaları Unutma! Değer verirken sadece 1, 2, 3 vermek yok. 0'ı, negatif sayıları ve birbirine eşit olma durumlarını (farklı dememişse) mutlaka dene.

  3. Sıfır (0) Matematiğin Kara Deliğidir! Çarpmada yutar, toplamada etkisizdir ama bölmede paydaya gelirse (Sayı/0) ifadeyi TANIMSIZ yapar. Aman dikkat!

  4. Harfli İfadelerde Parantez Kullanmayı Alışkanlık Edin! Özellikle negatif sayılarda yerine koyma yaparken x = -2 için x^2 soruluyorsa, bunu -2^2 olarak değil, (-2)^2 = +4 olarak yazmalısın.

  5. Tek-Çift Sorularında Üslere Aldanma! Pozitif tam sayı üsleri tek/çiftliği etkilemez (n pozitif tam sayı ise a^n ile a aynı karakterdedir). Üssü hemen çiz, tabana odaklan!

  6. "Daima" veya "Kesinlikle" Sorularında Açık Ara! ÖSYM "daima doğrudur" diyorsa, senin görevin o şıkkı çürütecek tek bir zıt örnek (aksine örnek) bulmaktır. Bulamıyorsan o şık doğrudur.

  7. Rasyonel ve Gerçek (Reel) Sayılarda Değer Verilmez! "a ve b reel sayıdır" diyorsa ve senden a+b'nin en büyük tam sayı değerini istiyorsa, a ve b'ye tam sayı değeri veremezsin! Eşitsizlikleri taraf tarafa toplayıp aralık bulacaksın.

  8. Bölünebilme Kuralları Zincirini Doğru Kur! Örneğin 36'ya bölünebilme soruluyorsa, önce son basamakları ilgilendiren kurala (4'e bölünebilme), sonra rakamlar toplamına (9'a bölünebilme) bakacaksın.

  9. Sayı Basamakları Sorularında Çözümleme Hayat Kurtarır! ab ve ba iki basamaklı sayılar diyorsa anında ab = 10a+b ve ba = 10b+a yazarak denklemi kur. Bekleme yapma!

  10. Pozitif/Negatif Yorumunda Çift Kuvvetlere Sarıl! Bir sayının çift kuvveti daima pozitiftir (sıfır hariç). Eşitsizliklerde a^2, b^4 gibi ifadeler gördüğünde, sonucunun (+) olduğunu bilip diğer çarpanın işaretini hemen yapıştır!

📚 Sayı Kümeleri (Matematiğin Alfabesi)

Hocam, bu kümeleri bilmeden işlem yapmak, harfleri bilmeden roman yazmaya çalışmak gibidir.

  • Doğal Sayılar (N): {0, 1, 2, 3, ...} (Sıfırın doğal sayı olduğunu sakın unutma!)
  • Sayma Sayıları (N):* {1, 2, 3, ...} (Sıfır yoktur!)
  • Tam Sayılar (Z): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
    • Z+ (Pozitif Tam Sayılar): {1, 2, 3, ...}
    • Z- (Negatif Tam Sayılar): {..., -3, -2, -1}
  • Rasyonel Sayılar (Q): a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. (b ≠ 0)
  • İrrasyonel Sayılar (Q'): a/b şeklinde yazılamayan sayılardır (Kök dışına çıkamayanlar, π, e vb.).
  • Reel (Gerçek) Sayılar (R): Tüm bu sayıları kapsayan en geniş kümedir.

Tablo: Hangi Sayı Hangi Kümeye?

Sayı N Z Q Q' R
5 ✅ ✅ ✅ ❌ ✅
-3 ❌ ✅ ✅ ❌ ✅
0 ✅ ✅ ✅ ❌ ✅
2/3 ❌ ❌ ✅ ❌ ✅
√2 ❌ ❌ ❌ ✅ ✅
π ❌ ❌ ❌ ✅ ✅

☯️ Tek ve Çift Sayılar

Tek Sayılar: ..., -3, -1, 1, 3, 5, ... (2n+1)
Çift Sayılar: ..., -2, 0, 2, 4, ... (2n)

İşlem Tablosu

İşlem Sonuç Örnek
T ± T Ç 1 + 3 = 4
Ç ± Ç Ç 2 + 4 = 6
T ± Ç T 1 + 2 = 3
T . T T 3 . 5 = 15
T . Ç Ç 3 . 2 = 6
Ç . Ç Ç 2 . 4 = 8

⚠️ ÖSYM Tuzakları:

  1. Üs Tuzağı: a^n ifadesinde n pozitif tam sayı değilse teklik/çiftlik bozulabilir (Örn: 2^-1 = 1/2).
  2. Katsayı Tuzağı: 2x + 1 ifadesi x ne olursa olsun (tam sayıysa) tektir. Ama 2x ifadesi x tam sayıysa çifttir, x hakkında bilgi vermez!
  3. Faktöriyel: 0! = 1 (Tek), 1! = 1 (Tek), 2! ve sonrası Çifttir.
  4. Bölme: Ç/Ç her zaman Çift değildir (6/2=3 Tektir). Bölmede kural aranmaz.
  5. Toplamlar: Çok sayıda sayının çarpımı Tek ise hepsi Tek'tir. Bir tanesi Çift ise sonuç Çift'tir.

💎 Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Tanım: 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük sayılardır.
Liste: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

  • En küçük asal sayı 2'dir.
  • 2'den başka çift asal sayı yoktur.
  • 1 asal değildir.

Aralarında Asal: 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. (Örn: 8 ve 9). Sayıların kendisinin asal olmasına gerek yoktur!

Pozitif Tam Bölen Sayısı (PBS): A = x^a . y^b . z^c (Asal çarpanlara ayrılmış hali) PBS = (a+1).(b+1).(c+1)

🔢 Sayı Basamakları

Çözümleme:

  • ab = 10a + b
  • abc = 100a + 10b + c

Pratik Kalıplar:

  • ab + ba = 11(a+b)
  • ab - ba = 9(a-b)
  • abc - cba = 99(a-c)

Taktik: Rakamları farklı diyorsa dikkat et! Sayıların basamak sayılarına (iki basamaklı vb.) dikkat et; başa 0 gelemez!

🛤️ Ardışık Sayılar

  • Ardışık Tam Sayılar: n, n+1, n+2 ... (Fark 1)
  • Ardışık Çift Sayılar: 2n, 2n+2, 2n+4 ... (Fark 2)
  • Ardışık Tek Sayılar: 2n-1, 2n+1, 2n+3 ... (Fark 2)

Toplam Formülleri:

  1. Terim Sayısı: [(Son - İlk) / Artış] + 1
  2. Toplam: [(Son + İlk) / 2] * Terim Sayısı
  3. Gauss: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

✂️ Bölünebilme Kuralları

Sayı Kural
2 Son basamak çift
3 Rakamlar toplamı 3'ün katı
4 Son iki basamak 00 veya 4'ün katı
5 Son basamak 0 veya 5
8 Son üç basamak 8'in katı
9 Rakamlar toplamı 9'un katı
10 Son basamak 0
11 +-+- kuralı

⚠️ KPSS'de Sık Görülen Tuzaklar

  1. 0 bir doğal sayıdır.
  2. 1 asal değildir.
  3. 0 çift bir sayıdır ama işareti yoktur.
  4. Negatif sayıların asal çarpanı olmaz.
  5. Ardışık iki asal sayı sadece 2 ve 3'tür (Farkı 1 olan).
  6. "Rakamları farklı" uyarısını soru sonunda unutma.
  7. "Pozitif tam sayı" diyorsa 0'ı alma.
  8. En küçük asal sayı 2'dir.
  9. Rasyonel sayılarda teklik/çiftlik aranmaz.
  10. x^2 daima pozitif değildir (x=0 ise 0'dır).

🚀 Hızlı Hesap İpuçları (Bonus)

  • 9 ile çarpmada rakamlar toplamı hep 9'dur.
  • Bir sayıyı 5 ile çarpmak için sonuna 0 ekleyip 2'ye böl.
  • Sonu 5 ile biten sayıların karesi: n5^2 -> 25 yaz, n'i (n+1) ile çarp başa koy. (25^2 = 625 gibi).

🏁 Kapanış / Motivasyon

Bu konuyu hakkıyla öğrendiğinde KPSS'de Temel Kavramlar'dan gelecek soruları gözün kapalı çözeceksin. Unutma, en zor problemler bile bu basit kuralların birleşimidir. Temeli sağlam tut, binayı üzerine çıkmak kolay olacak. Hadi sıradaki konuya geçelim!

Bol şans ve başarılar dilerim hocam! 🎯🔥

Önemli kavramlar

Sayı Kümeleri

Doğal sayılar N={0,1,2,...} (KPSS'de 0 doğal). Sayma sayıları N*={1,2,3,...}. Tam sayılar Z={...,-2,-1,0,1,2,...}. Rasyonel Q (a/b biçimi, b≠0). İrrasyonel Q' (√2, π, e). Reel R=Q∪Q'. Hiyerarşi: N⊂Z⊂Q⊂R.

Tek-Çift Sayılar

Çift: 2k formunda (0 dahil). Tek: 2k+1. İşlem kuralları: T±T=Ç, T±Ç=T, DZÇ=Ç. T·T=T, T·Ç=Ç, Ç·Ç=Ç. Üs: Tek^n=Tek (n>0), Çift^n=Çift. ÖSYM tuzağı: 0 çift, 2x daima çift, 2x+1 daima tek (x tam sayı).

Asal Sayılar

1 ve kendisi dışında pozitif tam böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılar. İlk 25 asal: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. 2 tek çift asal sayıdır. 1 asal DEĞİL. Aralarında asal: OBEB=1 (8 ve 15).

Pozitif Tam Bölen Sayısı T(N)

N = p₁^a · p₂^b · p₃^c formundaysa T(N) = (a+1)(b+1)(c+1). Örnek: 360 = 2³·3²·5 → T(360) = 4·3·2 = 24. Ters problem: PBS verilmişse en küçük doğal sayı için (3·2·2) gibi en uygun parçalama, üsler büyükten küçüğe en küçük asal tabanlara yerleştirilir.

Sayı Basamakları (Çözümleme)

ab = 10a+b. abc = 100a+10b+c. abcd = 1000a+100b+10c+d. Pratik formüller: ab+ba=11(a+b), ab-ba=9(a-b), abc-cba=99(a-c), abc+bca+cab=111(a+b+c). Başa 0 yazılmaz. KPSS sık tuzak: 'rakamları farklı' uyarısı.

Ardışık Sayılar

Ardışık tam: n,n+1,n+2 (fark 1). Ardışık çift/tek: fark 2. Toplam formülleri: 1+2+...+n = n(n+1)/2 (Gauss). 1+3+5+...+(2n-1) = n² (tek). 2+4+...+2n = n(n+1) (çift). Ortalama yöntemi: Toplam = Orta terim · Terim sayısı. Tek sayıda terim varsa orta terim = Toplam/Terim sayısı.

Bölünebilme Kuralları

2: son rakam çift. 3: rakam toplamı 3'ün katı. 4: son iki rakam 4'ün katı. 5: son rakam 0 veya 5. 6: hem 2'ye hem 3'e. 8: son üç rakam 8'in katı. 9: rakam toplamı 9'un katı. 11: birler basamağından + - + - işaretleyip toplam 11'in katı. 25: son iki rakam 25'in katı. Bileşik: 12=4·3, 36=4·9, 72=8·9.

Pozitif/Negatif Sayı Kuralları

Sıfır işaretsiz. (-)·(+)=(-), (-)·(-)=(+). a²≥0 her zaman, a²=0 sadece a=0. Çift kuvvet daima pozitif, tek kuvvet işareti korur. KPSS tip: a·b<0 ise farklı işaretli, a/b>0 ise aynı işaretli. Negatif sayıların büyüklüğü mutlak değerce ters.

ÖSYM Tuzakları

'0 doğal sayı mıdır?' EVET (KPSS kabulü). '1 asal mıdır?' HAYIR. '0 tek mi çift mi?' ÇİFT. 'En küçük asal sayı?' 2 (1 değil). 'Ardışık iki asal sayı' sadece 2 ve 3. 'Pozitif tam sayı' denince 0 dahil DEĞİL. 'ab=02 olabilir mi?' HAYIR (başa 0). 'Tüm tek sayılar asal mıdır?' HAYIR (9 tek, asal değil). Rasyonelde tek/çift KAVRAMI YOK.

Hızlı Hesap İpuçları

9 ile çarpmada rakamlar toplamı 9. 5 ile çarpma: sonuna 0 ekle, 2'ye böl. n5² = n(n+1) ile 25 birleşimi: 25²=625, 35²=1225, 45²=2025. 11 ile çarpma: rakamlar arasına toplamlarını ekle (23·11=253). a²-b²=(a-b)(a+b). Karelerin farkı: pozitif tam sayılarda (x-y)(x+y)=N şeklinde çarpan analizi.

Hızlı örnek

Detaylı örnekler Worked Examples bölümünde.

Örnek çözümler

Konuyu soru üzerinden pekiştir

1 örnek

Mini Örnekler

KPSS Matematik Temel Kavramlar - 20 ÖSYM Tarzı Çözümlü Mini Örnek

Değerli hocam, temel kavramlar konusunu teorik olarak öğrendin, şimdi bu bilgileri ÖSYM'nin diliyle pratik etme vakti. Senin için 5 Kolay, 10 Orta, 5 Zor olmak üzere tam 20 tane "hap" niteliğinde soru hazırladım. Çözümleri satır satır oku, tuzaklara dikkat et! Başlıyoruz! 🚀

ÖRNEK 1 (Sayı Kümeleri - KOLAY)

SORU: a ve b birer doğal sayıdır. a + b = 15 olduğuna göre, a · b çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  • A) 0
  • B) 14
  • C) 26
  • D) 54
  • E) 56

ÇÖZÜM: Şimdi adım adım gidelim hocam. Soru kökünde "doğal sayı" diyor. Doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, ...} şeklinde sıfırdan başlar. Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en küçük olması için, sayıları birbirine en uzak seçmeliyiz. a = 0 ve b = 15 seçersek (0 bir doğal sayıdır!); 0 · 15 = 0 bulunur. Eğer soru "sayma sayısı" veya "pozitif doğal sayı" deseydi 0 veremez, 1 ve 14 seçip cevaba 14 derdik.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Sıfırın (0) bir doğal sayı olduğunu unutmak en büyük tuzaktır. Adaylar genelde 1 ve 14 verip B şıkkına düşerler.

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 2 (Ardışık Sayılar - KOLAY)

SORU: Ardışık 5 tam sayının toplamı 65'tir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

  • A) 13
  • B) 15
  • C) 17
  • D) 19
  • E) 21

ÇÖZÜM: Sayıları tek tek (x) + (x+1) ... diye yazarak amelelik yapmıyoruz. Ardışık tek sayıda terim varsa, toplamı terim sayısına böldüğümüzde tam ortadaki (ortanca) sayıyı buluruz. Ortanca sayı = 65 / 5 = 13 Elimizde 5 sayı var, 13 tam ortada (3. sayı). _ , _ , 13 , _ , _ Sayılar ardışık (fark 1) olduğu için sağa doğru birer artır: 13, 14, 15. En büyüğü 15'tir.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Bulunan 13 değerini doğrudan cevap sanıp A şıkkını işaretlemek. Soru bizden en büyük sayıyı istiyor, ortancayı değil!

⏱️ Süre Tahmini: 30 saniye

ÖRNEK 3 (Sayı Basamakları - KOLAY)

SORU: ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır. ab - ba = 54 ve a + b = 10 olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?

  • A) 12
  • B) 15
  • C) 16
  • D) 18
  • E) 24

ÇÖZÜM: ab ve ba'yı gördüğün an çözümleme formülünü yapıştır: ab - ba = 9(a - b) Soru bunu 54 vermiş. 9(a - b) = 54 → a - b = 6 olur. Elimizde iki denklem var, taraf tarafa toplayalım: a + b = 10 a - b = 6 2a = 16 → a = 8. a=8 ise toplamın 10 olması için b = 2'dir. Bizden istenen a · b = 8 · 2 = 16.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Formülü unutup a ve b yerine tek tek rakam deneyerek zaman kaybetmek. Denklemi kurmak 10 saniyeni alır.

⏱️ Süre Tahmini: 30 saniye

ÖRNEK 4 (Asal Sayılar - KOLAY)

SORU: Aşağıdaki sayılardan hangisi bir asal sayıdır?

  • A) 51
  • B) 57
  • C) 87
  • D) 97
  • E) 111

ÇÖZÜM: Asal sayı, sadece 1'e ve kendisine bölünen sayıdır. Şıkları "3'e bölünebilme" kuralı (rakamlar toplamı) ile hemen eleyelim. A) 51 → 5+1=6 (3'e bölünür, 3 · 17) B) 57 → 5+7=12 (3'e bölünür, 3 · 19) C) 87 → 8+7=15 (3'e bölünür, 3 · 29) E) 111 → 1+1+1=3 (3'e bölünür, 3 · 37) D) 97 sayısı 100'den küçük en büyük asal sayıdır, hiçbir asal çarpana bölünmez.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: 51, 57, 87 ve 91(7x13) sayıları asala çok benzer, ÖSYM bunları şıklara koyarak "göz yanılgısı" yaratmayı çok sever.

⏱️ Süre Tahmini: 25 saniye

ÖRNEK 5 (Bölünebilme - KOLAY)

SORU: Üç basamaklı 4a5 doğal sayısı 3 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

  • A) 9
  • B) 12
  • C) 15
  • D) 17
  • E) 18

ÇÖZÜM: 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. Sayı: 4a5 → 4 + 5 + a = 9 + a. 9 + a ifadesinin 3'ün katı olması için a yerine; a = 0 (9+0=9 ✅) a = 3 (9+3=12 ✅) a = 6 (9+6=15 ✅) a = 9 (9+9=18 ✅) değerleri gelebilir. Toplam: 0 + 3 + 6 + 9 = 18. Soru "rakamları farklı" demediği için hepsini alıyoruz.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Başlangıç değeri olarak 0'ı unutmak! a ortada olduğu için 0 değerini rahatlıkla alabilir. Başa (yüzler basamağına) gelseydi alamazdı.

⏱️ Süre Tahmini: 30 saniye

ÖRNEK 6 (Tek ve Çift Sayılar - ORTA)

SORU: a ve b birer tam sayıdır. 3a + 4b = 18 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  • A) a çifttir
  • B) a tektir
  • C) b çifttir
  • D) b tektir
  • E) a+b tektir

ÇÖZÜM: Denklemdeki katsayıları analiz edelim: 3a + 4b = 18. b ne olursa olsun (tam sayı olduğu sürece), 4 ile çarpıldığı için 4b daima ÇİFT'tir. 18 sayısı da ÇİFT'tir. 3a + ÇİFT = ÇİFT durumunda, 3a'nın kesinlikle ÇİFT olması gerekir. 3 tek olduğuna göre, çarpımın çift olması için a kesinlikle ÇİFT olmak zorundadır. b hakkında ise yorum yapılamaz, tek de olabilir çift de.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: 4b çift olduğu için b'nin de çift olduğunu zannetmek (C şıkkı). Katsayısı çift olan harfin kendisi hakkında teklik/çiftlik yorumu yapılamaz!

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 7 (Sayı Kümeleri - ORTA)

SORU: x, y ve z negatif tam sayılardır. x · y = 12 y · z = 18 olduğuna göre, x + y + z toplamı en çok kaçtır?

  • A) -10
  • B) -11
  • C) -15
  • D) -21
  • E) -31

ÇÖZÜM: Negatif sayılarda "en çok (en büyük)" diyorsa, sayıları sıfıra en yakın (mutlak değerce en küçük) seçmeliyiz. İki denklemde de ortak olan harf y'dir. y, 12 ve 18'in ortak böleni olmalıdır. Negatif ve sıfıra en yakın olmasını istiyoruz. y'ye ortak en büyük bölen olan -6'yı verelim: y = -6 → x · (-6) = 12 → x = -2 y = -6 → (-6) · z = 18 → z = -3 Toplam: (-2) + (-6) + (-3) = -11. Eğer y'ye -1 verseydik toplam -31 olurdu (bu en küçük değerdir).

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Sorudaki "negatif" ifadesini unutup pozitif sayıları bularak maksimum sonucu aramak. Negatif sayılarda sayısal değer büyüdükçe sayı küçülür!

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 8 (Pozitif Tam Bölen Sayısı - ORTA)

SORU: 120 sayısının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?

  • A) 12
  • B) 14
  • C) 16
  • D) 20
  • E) 24

ÇÖZÜM: Bir sayının pozitif bölen sayısını (PBS) bulmak için önce onu asal çarpanlarına ayırmalıyız. 120 = 12 · 10 = (4 · 3) · (2 · 5) = 2^2 · 3^1 · 2^1 · 5^1 Düzenlersek: 120 = 2^3 · 3^1 · 5^1 PBS Formülü: Üsleri 1 artırıp çarpıyoruz. PBS = (3+1) · (1+1) · (1+1) PBS = 4 · 2 · 2 = 16 bulunur.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan, 120 = 10 x 12 gibi asallar dışı sayılarla üs artırmaya çalışmak formülü doğrudan bozar. Tabanların asal olduğundan emin ol!

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 9 (Tek-Çift + Üs Kuralları - ORTA)

SORU: a tek bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu daima çift bir tam sayıdır?

  • A) a^2
  • B) a^3 + 2
  • C) 2a + 1
  • D) a^2 + a
  • E) a / 2

ÇÖZÜM: a'nın tek olduğunu biliyoruz, kafandan hemen a=1 veya a=3 gibi bir değer vererek şıkları sına. A) 1^2 = 1 (Tek) B) 1^3 + 2 = 3 (Tek) C) 2(1) + 1 = 3 (Tek) E) 1 / 2 (Kesirli, teklik çiftlik aranmaz) D) a^2 + a = a(a + 1). a tek ise, a+1 çifttir. Tek ile Çiftin çarpımı daima ÇİFT olur. (1^2 + 1 = 2).

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Üslü ifadelerde değer verirken negatifleri düşünmemek normalde tuzaktır ama burada polinom (üstler pozitif tam sayı) yapısında olduğu için a(a+1) kuralı ardışık çarpan kuralıdır ve daima çifttir.

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 10 (Aralarında Asal Sayılar - ORTA)

SORU: (a-2) ve (b+1) aralarında asal sayılardır. (a-2)/(b+1) = (15)/(21) olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?

  • A) 30
  • B) 32
  • C) 35
  • D) 40
  • E) 42

ÇÖZÜM: İki ifade aralarında asal verilmişse, karşı taraftaki kesrin de KESİNLİKLE aralarında asal hale getirilmesi (en sade haline kadar sadeleştirilmesi) gerekir. 15 ve 21 aralarında asal değildir (ikisi de 3'e bölünür). (15 ÷ 3)/(21 ÷ 3) = (5)/(7) Artık 5 ve 7 aralarında asaldır. Şimdi karşılıklı eşitleyebiliriz: a - 2 = 5 → a = 7 b + 1 = 7 → b = 6 İstenen çarpım: 7 · 6 = 42.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Sadeleştirme yapmadan doğrudan a-2 = 15 ve b+1 = 21 eşitlemesi yaparak a=17, b=20 bulmak en büyük hatadır.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 11 (Sayı Basamakları / Fark - ORTA)

SORU: xyz ve zyx üç basamaklı doğal sayılardır. xyz - zyx = 396 ve x = 2z olduğuna göre, x + z toplamı kaçtır?

  • A) 12
  • B) 10
  • C) 9
  • D) 8
  • E) 6

ÇÖZÜM: Üç basamaklı xyz ve zyx arasındaki fark kalıbını beynine kazımıştın: xyz - zyx = 99(x - z)'dir (Ortadaki y'ler birbirini götürür). Bize bu farkı 396 vermiş: 99(x - z) = 396 → x - z = 4. Soruda ayrıca x = 2z verilmiş. Bunu denklemde yerine koyalım: 2z - z = 4 → z = 4. x = 2z → x = 8. Bizden x + z isteniyor: 8 + 4 = 12.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: 100x+10y+z - (100z+10y+x) yazarken parantez eksisini dağıtmayı unutup işlem hatası yapmak. Pratik 99 kuralını kullan geç.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 12 (Ardışık Sayılar / Ortanca Terim - ORTA)

SORU: Ardışık 3 pozitif tek sayının çarpımı, ortanca sayının 45 katına eşittir. Buna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?

  • A) 15
  • B) 21
  • C) 27
  • D) 33
  • E) 39

ÇÖZÜM: Sayılara bilinmeyen verelim. Ortanca sayıya n diyelim. Ardışık tek sayıların arasındaki fark 2'dir. O halde sayılar: (n-2), n, (n+2) olur. Sorudaki denklemi kuralım: (n-2) · n · (n+2) = 45 · n Eşitliğin iki tarafındaki n'leri sadeleştirebiliriz (sayılar pozitif olduğu için n=0 olamaz). (n-2) · (n+2) = 45 (İki kare farkı var burada) n^2 - 4 = 45 → n^2 = 49 → n = 7 (Pozitif olduğu için 7). Sayılarımız: 5, 7 ve 9'dur. Toplamları: 5 + 7 + 9 = 21.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Sayılara n, n+2, n+4 vermek denklemi zorlaştırır. Ortancaya odaklanıp simetrik yazmak (n-2, n, n+2) hayat kurtarır.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 13 (Bölünebilme / Karma - ORTA)

SORU: Dört basamaklı 5a3b sayısı hem 5'e hem de 11'e tam bölünebilmektedir. Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

  • A) 8
  • B) 9
  • C) 11
  • D) 13
  • E) 15

ÇÖZÜM: Birden fazla kural varsa, her zaman "son basamağı" ilgilendiren kuralla başla. Önce 5'e bölünebilme: Sayı 5'e tam bölünüyorsa b ya 0 ya da 5'tir. İki durum oluşur:

1. Durum (b = 0): Sayı 5a30 11 ile bölünebilme: Sağdan sola +,-,+,- verilir. (- 5) + (+ a) + (- 3) + (+ 0) = a - 8. Sonucun 11'in katı (veya 0) olması için a = 8 olmalıdır. (8-8=0)

2. Durum (b = 5): Sayı 5a35 11 ile bölünebilme: +,-,+,- verelim. (- 5) + (+ a) + (- 3) + (+ 5) = a - 3. Sonucun 0 olması için a = 3 olmalıdır.

a'nın alacağı değerler toplamı: 8 + 3 = 11.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: 11 ile bölünebilmede +,- işaretlemesini soldan sağa yapmak sonucu tamamen mahveder. İşaretleme DAİMA sağdan sola (birler basamağından) başlar!

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 14 (Tek-Çift Öncüllü - ORTA)

SORU: x, y ve z birer tam sayıdır. x · y · z çarpımı tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?

  • A) x + y + z
  • B) x · y
  • C) x · y · z
  • D) x + y
  • E) x^y

ÇÖZÜM: Çarpımın sonucunun "tek" olması, matematiksel olarak çok net bir mesajdır: Çarpanların İÇİNDE BİR TANE BİLE ÇİFT SAYI YOKTUR! Hepsi mecburen tektir. Demek ki x = Tek, y = Tek, z = Tek'tir. Şıklara inelim: A) T + T + T = Çift + T = Tek B) T · T = Tek C) T · T · T = Tek D) x + y → T + T = ÇİFT. (İki tek sayının toplamı daima çifttir.) E) T^T tek de olabilir, y negatifse rasyonel de olabilir (Çiftlik aranmaz).

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Çarpımın tek olması durumunu T · Ç = T gibi uydurma bir kural zannedip yanılmak. Çarpımda bir çift varsa o ifade çift olmak zorundadır.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 15 (PBS Faktöriyel - ORTA)

SORU: 5! (5 faktöriyel) sayısının tam bölen sayısı kaçtır?

  • A) 12
  • B) 16
  • C) 20
  • D) 24
  • E) 32

ÇÖZÜM: Önce sayının kendisini bulup asal çarpanlarına ayıralım. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. 120 sayısını 8. örnekte ayırmıştık: 120 = 2^3 · 3^1 · 5^1. Pozitif Bölen Sayısı (PBS) = (3+1) · (1+1) · (1+1) = 4 · 2 · 2 = 16. Soru bizden "Pozitif" değil, "Tam Bölen" sayısını (TBS) istiyor. Tam bölenler, pozitiflerin ve onların negatiflerinin toplamı kadardır (Örn: 2 bölüyorsa -2 de böler). TBS = 2 · PBS = 2 · 16 = 32.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Soru kökündeki "tam bölen" kelimesini okumayıp alışkanlıktan "pozitif bölen" sayısı olan 16'yı bulup B şıkkına atlamak.

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 16 (Sayı Kümeleri Reel - ZOR)

SORU: x ve y gerçek (reel) sayılardır. 2 < x < 5 -3 < y < 4 olduğuna göre, 2x - 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

  • A) 18
  • B) 19
  • C) 20
  • D) 21
  • E) 22

ÇÖZÜM: Soru KÖKÜ "reel sayı" diyorsa değer vererek çözemezsin, eşitsizliği taraf tarafa çözmek ZORUNDASIN. 2x için eşitsizliği 2 ile çarp: 4 < 2x < 10 -3y için eşitsizliği -3 ile çarp. (DİKKAT: Negatifle çarpınca eşitsizlik yön değiştirir!) 9 > -3y > -12 → Düzenlersek: -12 < -3y < 9 Şimdi bu iki ifadeyi taraf tarafa toplayalım: 4 < 2x < 10 -12 < -3y < 9

-8 < 2x - 3y < 19 İfadenin 19'dan küçük olması gerektiğini görüyoruz. En büyük tam sayı değeri 18'dir.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: "x ve y reel" uyarısını görmeyip, x'e tam sayı (4) ve y'ye tam sayı (-2) verip 2(4) - 3(-2) = 8 + 6 = 14 bulmak. Unutma; reel sayı diyorsa, aradaki 4.9 veya -2.9 gibi değerler de sisteme dahildir!

⏱️ Süre Tahmini: 75 saniye

ÖRNEK 17 (Tek-Çift Reel Tuzağı - ZOR)

SORU: x bir gerçek (reel) sayıdır. 3x + 1 ifadesi tek tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle bir tam sayıdır?

  • A) x + 1
  • B) 6x + 5
  • C) 4x + 2
  • D) x^2
  • E) 9x

ÇÖZÜM: Çok klas bir ÖSYM tuzağıdır! 3x+1 tek tam sayıysa, 3x ifadesi bir ÇİFT TAM SAYIDIR. (Çünkü Çift+1=Tek). Yani 3x = 2k (k tam sayı) diyelim. x = 2k/3 olur. Gördüğün gibi x tek başına tam sayı olmak zorunda değildir! (Örneğin x = 2/3 olabilir, bu durumda 3(2/3)+1 = 3 tek tam sayısı sağlanır). x tam sayı olmadığı için, içinde tek x bulunduran veya x^2 bulunduran şıklar daima tam sayı olmaz (A, C, D ve E elenir). Ancak B şıkkına bakalım: 6x + 5 = 2(3x) + 5. Biz 3x'in çift bir tam sayı olduğunu kesin biliyoruz. 2 · (Çift) + 5 = Çift + Tek = Tek Tam Sayı. Her halükarda tam sayı çıkacaktır!

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Öğrencinin "3x+1 tekse, x çifttir" gibi tamamen yanlış bir kabule düşüp A şıkkına atlaması. x'in tam sayı olduğu verilmemiş, reel denmiş!

⏱️ Süre Tahmini: 90 saniye

ÖRNEK 18 (Asal Sayılar - ZOR)

SORU: x, y ve z birer asal sayıdır. x = 13^{y-z} olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?

  • A) 15
  • B) 16
  • C) 18
  • D) 20
  • E) 24

ÇÖZÜM: x bir asal sayı ise, x'in sadece 1'e ve kendisine bölünebilmesi gerekir. Karşı tarafta taban 13 (bir asal sayı). 13'ün hangi kuvveti bir asal sayı yapar? Sadece 13^1! Eğer kuvvet 2 olsaydı sayı 169 olurdu (asal değil). Kuvvet 0 olsaydı 1 olurdu (asal değil). Dolayısıyla üs mecbur 1 olmalıdır: y - z = 1. İki asal sayının farkının 1 olduğu TEK BİR DURUM VARDIR. O da ardışık olan asallar: 3 ve 2. y = 3 ve z = 2 olmak zorundadır. Bu durumda x = 13^1 = 13 olur. Toplamları: 13 + 3 + 2 = 18.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Asal sayılar arasındaki farkın 1 olabileceği tek çiftin (3 ve 2) kuralını hatırlamamak ve deneme yanılma ile zamanı bitirmek.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 19 (Sayı Basamakları Karma - ZOR)

SORU: abc üç basamaklı, ab iki basamaklı doğal sayılardır. abc + ab = 425 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

  • A) 15
  • B) 16
  • C) 17
  • D) 18
  • E) 19

ÇÖZÜM: Sayıları çözümleyerek denkleme dökelim: (100a + 10b + c) + (10a + b) = 425 110a + 11b + c = 425 Büyük katsayılıdan başlayarak değer vereceğiz. a'ya öyle bir değer vermeliyiz ki 425'e yaklaşalım ama geçmeyelim. a = 4 dersek 110 · 4 = 440 (425'i geçer, olmaz). O halde a = 3'tür. 110 · 3 = 330. Geriye 425 - 330 = 95 kalır. 11b + c = 95 denklemi kaldı. Şimdi b'ye değer vereceğiz. b = 9 dersek 99 olur (Geçer). b = 8 dersek 11 · 8 = 88. Geriye 95 - 88 = 7 kalır. c = 7 olur. Tüm rakamları bulduk: a = 3, b = 8, c = 7. Toplam: 3 + 8 + 7 = 18.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Çözümleme yaparken "ab"yi çarpım zannedip 100a+10b+c + a · b yazmak. Üstü çizili değilse veya belirtilmişse bunlar basamaklı sayıdır, çözümleme yapılır.

⏱️ Süre Tahmini: 75 saniye

ÖRNEK 20 (Bölünebilme - ZOR)

SORU: Dört basamaklı 4a5b doğal sayısı 45'e tam bölünebilmektedir. Buna göre a'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

  • A) 18
  • B) 24
  • C) 36
  • D) 45
  • E) 0

ÇÖZÜM: Sayı 45'e bölünüyorsa, 45'in aralarında asal çarpanları olan 5'e ve 9'a da tam bölünmelidir. Önce son basamağı belirleyen 5 kuralı: b rakamı ya 0 ya da 5'tir.

1. Durum (b = 0): Sayı 4a50 Şimdi 9'a bölünebilme (rakamlar toplamı) kuralına geçelim: 4 + a + 5 + 0 = 9 + a. 9+a'nın 9'un katı olması için; a = 0 veya a = 9 olabilir.

2. Durum (b = 5): Sayı 4a55 Rakamlar toplamı: 4 + a + 5 + 5 = 14 + a. 14+a'nın 9'un katı olması için a = 4 olmalıdır (14+4=18).

a'nın alabileceği değerler kümesi: {0, 4, 9}. Bizden bu değerlerin çarpımı istenmiş: 0 · 4 · 9 = 0.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: 1. durumda "rakamlar toplamı 9 yaptı zaten" deyip a=0'ı unutmak ve sadece a=9 alarak çarpımı 36 bulup C şıkkına atlamak çok can yakar.

⏱️ Süre Tahmini: 75 saniye

Bu pratikler KPSS'de Temel Kavramları tokatlamak için altın niteliğindedir. Yanlışlarını tekrar analiz et ve tempoyu hiç düşürme! 🎯🔥

Başlangıç önerisi

Önce konu özetini ve örnek çözümleri incele, sonra testten başla. Giriş yaparsan çalışma planı ve streak takibi otomatik aktif olur.

Konu Testi