K

KpssAsistanım

KPSS Hazırlık Platformu

Giriş YapÜcretsiz Başla

KPSS / Matematik

Hareket Problemleri

KPSS Matematik için yayındaki konu özeti, test girişi ve çalışma kağıdı akışı bu sayfada bir arada.

Konu özeti

Temeli netleştir, sonra teste geç

Hareket Problemleri — KPSS Matematik Konu Anlatımı

Köprüyü geçen bir tren, akıntıya karşı kürek çeken bir tekne, birbirine doğru koşan iki arkadaş, pistte tur bindiren koşucular... Hikâyeler farklı ama hepsi tek bir eşitliğin kılık değiştirmiş hâlidir. O eşitliği bir kez gerçekten kavradığında, en uzun "tren + akıntı + ortalama hız" sorusu bile köşelere sayı yerleştirme oyununa döner:

🔑 Tek Altın Eşitlik Yol = Hız × Zaman (Hız = Yol / Zaman , Zaman = Yol / Hız)

Bütün konu, bu üç büyüklük (yol, hız, zaman) arasındaki ilişkinin farklı senaryolara uyarlanmasıdır. Bir de hiç unutmaman gereken bir refleks var; az sonra göreceğiz: önce birimleri eşitle.

KPSS'de Bu Konu Nerede Duruyor?

Hareket, "Problemler" başlığının en sevilen, en "hikâyeli" ama bir o kadar tuzaklı alt konusudur.

  • ÖSYM ortalama 1-2 soru doğrudan hareketten sorar.
  • Yelpaze geniştir: bir uçta düz "yol-hız-zaman", diğer uçta çok adımlı "tren + akıntı + ortalama hız".
  • Tamamı orantı ve denklem kurma becerisinin uygulamasıdır.

📊 En sık gelen beş alt başlık

  1. Ortalama hız (gidiş-dönüş, farklı etaplar)
  2. Birbirine doğru / aynı yönde hareket (karşılaşma ve kovalama)
  3. Tren problemleri (direk, köprü, peron, başka tren)
  4. Akıntı (tekne/yüzücü, gidiş-dönüş)
  5. Geç kalma / erken varma

🎯 Sınav Refleksi: Soru ne kadar uzun görünürse görünsün altında daima Yol = Hız × Zaman yatar. Verilenleri bu üçgenin köşelerine yerleştir, boş köşeyi bul. Panikleme; sistemli olan kazanır.

1. Temel Üçgen ve Üç Altın Kural

Kural 1 — Yol = Hız × Zaman

Bir büyüklüğü bulmak için diğer ikisi yeter. Soruyu okur okumaz sor: "Elimde hangi iki büyüklük var, hangisini arıyorum?"

Kural 2 — Birimler MUTLAKA Uyumlu Olmalı

Hız km/saat ise zaman saat, yol km; hız m/sn ise zaman saniye, yol metre olmalı. Bu uyumu kurmadan formüle sayı yazmak en büyük hatadır.

km/saat → m/sn:  × 5/18   (yani 3,6'ya böl)
m/sn → km/saat:  × 18/5   (yani 3,6 ile çarp)

Kural 3 — İki Hareketlide BAĞIL (Göreceli) Hız

Zıt yönde (birbirine doğru ya da uzağa):  bağıl hız = v1 + v2
Aynı yönde (biri diğerini kovalıyor):     bağıl hız = v1 − v2

💡 Püf Noktası: Birim uyumu olmadan hiçbir işleme başlama. "72" sayısını görüp doğrudan formüle koyma — o 72 km/saat mi, m/sn mi? Saatle mi saniyeyle mi çalışıyorsun? Bu kontrolü refleks yaparsan hataların yarısını baştan elersin.

2. Birim Dönüşümü (km/saat ↔ m/sn)

Tren sorularında hız km/saat, uzunluk metre, süre saniye karışık verilir; dönüşümü gözün kapalı yapmalısın.

Neden 5/18? 1 km = 1000 m, 1 saat = 3600 sn → 1 km/saat = 1000/3600 = 5/18 m/sn. Ezberlenecek tek şey bu kesir.

📐 Çözümlü Örnek 1: 90 km/saat hızla giden tren saniyede kaç metre alır? 90 × 5/18 = 450/18 = 25 m/sn.

📐 Çözümlü Örnek 2: 20 m/sn hızla giden hareketli saatte kaç km gider? 20 × 18/5 = 360/5 = 72 km/saat.

🎯 Sınav Refleksi: Mantık kontrolü: m/sn sayıları km/saat sayılarından küçük olur (saniye, saatten çok kısadır). 72 büyük → 20 küçük; doğru yöndesin demektir.

3. Ortalama Hız — En Çok Tuzak Barındıran Başlık

🔑 Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman

Bu kadar. Ortalama hız, hızların basit ortalaması değildir.

⚠️ Sık Hata (ÖSYM'nin klasiği): "Gidiş 60, dönüş 30 ise ortalama (60+30)/2 = 45" demek YANLIŞTIR. Yavaş etapta daha çok zaman harcandığından ortalama, aritmetikten küçük çıkar.

İki özel durum:

Eşit YOL, iki farklı hız (gidiş-dönüş):   ortalama = (2 × v1 × v2) / (v1 + v2)   (harmonik)
Eşit ZAMAN, iki farklı hız:               ortalama = (v1 + v2) / 2               (aritmetik)

📐 Çözümlü Örnek 3: Bir araç gidiş 60, dönüş 30 km/saat. Ortalama hız? Yol eşit → harmonik: (2 × 60 × 30) / (60 + 30) = 3600 / 90 = 40 km/saat (45 değil!). Sağlama: Yol 60 km olsun. Gidiş 60/60 = 1 saat, dönüş 60/30 = 2 saat. Toplam 120 km / 3 saat = 40. ✅

💡 Püf Noktası: Emin olmak istersen tanıma dön: yola pratik bir sayı (hızların EKOK'u) ata, toplam yol / toplam zaman. "Eşit yolda ortalama daima küçük hıza yakındır."

4. Birbirine Doğru Hareket — Karşılaşma (Topla)

İki hareketli birbirine doğru çıkarsa aradaki mesafe iki hızın toplamı kadar bir bağıl hızla kapanır:

Aradaki mesafe = (v1 + v2) × karşılaşma süresi
Karşılaşma süresi = Mesafe / (v1 + v2)

Aynı anda çıktılarsa karşılaşana dek ikisi de eşit süre hareket eder.

📐 Çözümlü Örnek 4: Arası 360 km olan iki şehirden 50 ve 40 km/saat ile aynı anda birbirine doğru çıkılıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar? 360 / (50 + 40) = 360 / 90 = 4 saat. Sağlama: 50 × 4 = 200, 40 × 4 = 160; 200 + 160 = 360. ✅

💡 Püf Noktası (ileri): Karşılaşıp birbirinin başlangıcına devam eden ikilide, karşılaşmadan sonra biri t1 diğeri t2 sürede varırsa, başlangıçtan karşılaşmaya geçen süre t = √(t1 × t2)'dir.

5. Aynı Yönde Hareket — Kovalama (Çıkar)

İki hareketli aynı yönde gidiyorsa aradaki fark iki hızın farkı kadar bir bağıl hızla değişir:

Yetişme süresi = Aradaki mesafe / (v1 − v2)      (v1 = hızlı/yakalayan)

📐 Çözümlü Örnek 5: Hırsız 60 km/saat kaçıyor; 20 km arkasından polis 80 km/saat ile peşine düşüyor. Kaç saat sonra yakalar? 20 / (80 − 60) = 20 / 20 = 1 saat. Sağlama: Polis 80 km, hırsız 60 km; 20 km'lik açık kapandı. ✅

⚠️ Sık Hata: Daima hızlıdan yavaşı çıkar (ancak hızlı olan açığı kapatır). Fark sıfır ya da negatifse yakalama hiç olmaz. Yaklaşmada topla, kovalamada çıkar — bu ikisini karıştırma.

6. Dairesel (Çembersel) Pist

Pistin çevre uzunluğu, "aradaki mesafe" rolündedir:

Ters yönde karşılaşma = Çevre / (v1 + v2)
Aynı yönde tur bindirme (yakalama) = Çevre / (v1 − v2)

📐 Çözümlü Örnek 6: Çevresi 600 m pistte aynı noktadan aynı yönde 5 ve 3 m/sn ile koşuluyor. Hızlı, yavaşa kaç saniyede tam tur bindirir? Bir tur (600 m) fark: 600 / (5 − 3) = 600 / 2 = 300 saniye.

📐 Çözümlü Örnek 7 (başa birlikte dönüş): Aynı pistte (600 m) 5 ve 6 m/sn. İlk kez başlangıç noktasında birlikte? Tur süreleri: 600/5 = 120 sn, 600/6 = 100 sn. EKOK(120, 100) = 600 saniye.

🎯 Sınav Refleksi: İki durumu karıştırma: "herhangi bir yerde karşılaşma/yakalama" → bağıl hız (toplam/fark); "başlangıç noktasında birlikte olma" → tur sürelerinin EKOK'u.

7. Tren Problemleri — Tren Bir Nokta Değil, Bir Uzunluktur

Trenin tek farkı: bir cismi "geçmek", trenin tamamının o cismi geride bırakmasıdır. Alınan yola trenin boyu da dahil olur:

Direk / ağaç / insan (noktasal):       alınan yol = tren boyu
Köprü / peron / tünel (uzunluğu olan):  alınan yol = tren boyu + cisim boyu
İki tren:  alınan yol = boylar toplamı ; zıt yön v1+v2, aynı yön v1−v2

📐 Çözümlü Örnek 8: 120 m'lik tren 30 m/sn ile bir direği kaç saniyede geçer? Noktasal → yol = 120 m. 120 / 30 = 4 saniye.

📐 Çözümlü Örnek 9: Aynı tren 180 m'lik köprüyü kaç saniyede tümüyle geçer? Yol = 120 + 180 = 300 m. 300 / 30 = 10 saniye.

📐 Çözümlü Örnek 10 (iki tren): Boyları 100 ve 150 m olan iki tren zıt yönde 20 ve 30 m/sn. Birbirlerini kaç saniyede geçer? Yol = 100 + 150 = 250 m; bağıl hız = 20 + 30 = 50 m/sn. 250 / 50 = 5 saniye.

⚠️ Sık Hata: Köprü/peron/tünel sorusunda trenin boyunu eklemeyi unutmak — en sık kaybedilen puan. Bir de hız m/sn değilse 5/18 ile çevir.

8. Akıntı Problemleri (Tekne / Yüzücü)

v = teknenin durgun sudaki hızı, a = akıntı hızı:

Akıntı yönünde (aşağı):  etkin hız = v + a
Akıntıya karşı (yukarı):  etkin hız = v − a
Motorsuz sal/kütük:       hız = a   (akıntı hızının kendisi)

İki çıkarım: durgun su hızı = (aşağı + yukarı) / 2; akıntı hızı = (aşağı − yukarı) / 2.

📐 Çözümlü Örnek 11: Durgun suda 12 km/saat olan tekne, 3 km/saat akıntılı ırmakta 30 km'yi gidip aynı yoldan dönüyor. Toplam süre? Aşağı: 12 + 3 = 15 → 30/15 = 2 saat. Yukarı: 12 − 3 = 9 → 30/9 = 10/3 saat. Toplam = 2 + 10/3 = 16/3 saat (≈ 5,33).

📐 Çözümlü Örnek 12 (sal): Motorsuz sal 48 km'yi 16 saatte sürükleniyor. Akıntı hızı? Sal yalnız akıntıyla gider → a = 48/16 = 3 km/saat.

💡 Püf Noktası: Akıntı yönünde topla (v+a), karşı çıkar (v−a). "Motorsuz sal" gördüğünde sevin — hızı doğrudan akıntı hızıdır. Gidiş-dönüşte süreler toplanır, hızlar değil.

9. Geç Kalma / Erken Varma

Aynı mesafe iki farklı hızla kat edilir; biri geç kalır, biri erken varır. Püf: mesafe her iki durumda aynıdır. Süre farkı, geç kalma ile erken varmanın toplamıdır.

📐 Çözümlü Örnek 13: Öğrenci 40 km/saat ile 6 dk geç, 60 km/saat ile 4 dk erken varıyor. Okul kaç km uzakta? Süre farkı = 6 + 4 = 10 dk = 1/6 saat. d/40 − d/60 = 1/6 → (3d − 2d)/120 = 1/6 → d/120 = 1/6 → d = 20 km. Sağlama: 20/40 = 30 dk, 20/60 = 20 dk; fark 10 dk. ✅ (Tam zamanında 24 dk: 30 − 6 = 24, 20 + 4 = 24.)

⚠️ Sık Hata: Dakikayı saate çevirmemek. Hız km/saat ise süre saat olmalı (10 dk = 1/6 saat). "Geç + erken" toplamını süre farkı olarak kur — bu iki süre toplanır.

10. ÖSYM'nin Gizli Havuzu — Çıkmış Soru Tipleri

Tip 1 — Düz Yol-Hız-Zaman: Üçgenden boş köşeyi çek; önce birimi eşitle.

Tip 2 — Ortalama Hız: Eşit yol → harmonik 2·v1·v2/(v1+v2); eşit zaman → aritmetik. Aritmetik tuzağına düşme.

Tip 3 — Karşılaşma (zıt yön): Mesafe / (v1+v2); aynı anda çıktıysa süre ortak.

Tip 4 — Kovalama (aynı yön): Mesafe / (v1−v2); hızlıdan yavaşı çıkar.

Tip 5 — Tren: "Neyi geçiyor?" → noktasalsa tren boyu, uzunluğu varsa tren + cisim; iki trende boylar toplamı.

Tip 6 — Akıntı: Aşağı v+a, yukarı v−a, sal = a; gidiş-dönüşte süreleri topla.

Tip 7 — Geç/Erken & Dairesel: Mesafe sabit → süre farkı = geç + erken; "başta birlikte" → EKOK(tur).

🎯 Sınav Refleksi: Soruyu okurken bu yedi etiketten birini yapıştır; tip hem bağıntıyı hem de "birim / topla-çıkar / tren boyu" tuzaklarını önceden söyler.

11. On Ölümcül Tuzak

⚠️ Kaybedilen puanların neredeyse tamamı buradan:

  1. Birim uyumsuzluğu (km/saat ile saniye). Hep tek sisteme çevir (5/18, 18/5).
  2. Ortalama hızı aritmetik sanmak (eşit yolda 2·v1·v2/(v1+v2)).
  3. Yaklaşma ile kovalamayı karıştırmak (zıt → topla, aynı → çıkar).
  4. Tren boyunu unutmak (köprü/peron geçişinde tren + engel).
  5. Akıntı işaretini şaşırmak (yönünde v+a, karşı v−a; sal = a).
  6. Gidiş-dönüşte hızları toplamak (süreler toplanır, hızlar değil).
  7. Dakika-saat dönüşümünü atlamak (6 dk = 1/10 saat).
  8. Dairesel pistte iki durumu karıştırmak (bağıl hız mı EKOK mu).
  9. Yetişme yönünü ters kurmak (yakalayan daha hızlı olmalı).
  10. Sorulanı yanlış okumak (süre mi, yol mu, ortalama hız mı?).

12. Altı Adımlık Algoritma + Formül Tablosu

🎯 Her soruda izle:

  1. Oku ve çiz — kaç hareketli, yön (aynı/zıt), aynı anda mı, mesafe ne. Küçük şekil çiz.
  2. Birimleri eşitle — hepsi km-saat ya da hepsi m-sn (5/18, 18/5).
  3. Hangi tip? — ortalama / karşılaşma / kovalama / tren / akıntı / geç-erken.
  4. Bağıl hızı belirle — zıt → v1+v2, aynı → v1−v2.
  5. Denklemi kur ve çöz — Yol = Hız × Zaman; tren ise boylar, akıntı ise işaretler, ortalama ise toplam/toplam.
  6. Kontrol et — sonuç pozitif/anlamlı mı? Ortalama iki hız arasında mı? Sorulanı mı buldun?

📊 Formül Özeti

  • Yol = Hız × Zaman ; km/saat → m/sn (× 5/18), m/sn → km/saat (× 18/5).
  • Ortalama = Toplam Yol / Toplam Zaman ; eşit yolda (2·v1·v2)/(v1+v2).
  • Karşılaşma = Mesafe / (v1+v2) ; kovalama = Mesafe / (v1−v2).
  • Dairesel: ters yön Çevre/(v1+v2), aynı yön Çevre/(v1−v2) ; başta birlikte = EKOK(tur).
  • Tren: direk = boy ; köprü = boy + engel ; iki tren = boylar toplamı.
  • Akıntı: yönünde v+a, karşı v−a, sal = a.

Kapanış — Köşeleri Doldurmayı Öğrendin

Buraya kadar geldiysen artık her hareket sorusunun Yol = Hız × Zaman üçgenine oturduğunu ve önce birim eşitlemenin yarı zaferi getirdiğini biliyorsun. Bu konu zekâdan çok sistem ister: temel bağıntı, birim dönüşümü ve doğru tipi seçmek.

🔑 Son hatırlatma: Yol = Hız × Zaman — ve önce BİRİMLERİ eşitle.

Şimdi bol soru çöz; her yanlışında "birim mi, topla-çıkar mı, tren boyu mu kaçırdım?" diye bu rehbere dön. Burada kazandığın "oran kur, denklemle bilinmeyeni çek" becerisi seni Yüzde-Kâr-Zarar ve Karışım'da da bekliyor. 💪

Önemli kavramlar

Temel Bağıntı: Yol = Hız × Zaman

Tüm hareket problemlerinin temeli bu üçgendir: Yol = Hız × Zaman, Hız = Yol / Zaman, Zaman = Yol / Hız. Bir büyüklüğü bulmak için diğer ikisini bilmek yeterlidir. Soruyu okur okumaz 'elimde hangi iki büyüklük var, hangisini arıyorum?' diye sor ve verileri bu üçgenin köşelerine yerleştir. Soru ne kadar karmaşık görünürse görünsün, altında daima bu eşitlik yatar.

Birim Uyumu ve Dönüşüm (km/saat ↔ m/sn)

Hız km/saat ise zaman saat, yol km olmalı; hız m/sn ise zaman saniye, yol metre olmalıdır. km/saat'ten m/sn'ye geçmek için sayıyı 5/18 ile çarp (3,6'ya böl); m/sn'den km/saat'e geçmek için 18/5 ile çarp (3,6 ile çarp). Örnek: 72 km/saat = 72 × 5/18 = 20 m/sn. Birim eşitlemeden formüle sayı yazmak, bu konudaki en büyük hatadır; özellikle tren sorularında şarttır.

Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman

Ortalama hız, hızların basit ortalaması DEĞİLDİR. Eşit yolda iki farklı hız için harmonik ortalama kullanılır: (2 × v1 × v2) / (v1 + v2). Örneğin gidiş 60, dönüş 40 ise ortalama (60+40)/2 = 50 değil, (2·60·40)/100 = 40'tır. Eşit zamanda ise aritmetik ortalama geçerlidir. Emin değilsen tanıma dön: yola sayı ata, toplam yolu toplam zamana böl. Sonuç daima küçük hıza yakın çıkar.

Birbirine Doğru Hareket (Yaklaşma)

İki hareketli birbirine doğru gidiyorsa aralarındaki mesafe, hızların TOPLAMI (v1 + v2) kadar bir bağıl hızla kapanır. Karşılaşma süresi = Aradaki mesafe / (v1 + v2). Aynı anda çıktılarsa karşılaşana kadar ikisi de eşit süre yol alır; her birinin aldığı yol kendi hızı × bu ortak süredir. Yolların toplamı, başlangıçtaki mesafeye eşittir. Zıt yön daima TOPLA mantığıyla çözülür.

Aynı Yönde Hareket (Kovalama / Yetişme)

İki hareketli aynı yönde gidiyorsa aradaki fark, hızların FARKI (v1 − v2) kadar bir bağıl hızla değişir. Yetişme süresi = Aradaki mesafe / (v1 − v2). Burada yakalayan, yakalanandan hızlı olmalıdır; yoksa fark hiç kapanmaz. En sık hata hızları toplamaktır. Kuralı net tut: birbirine doğru TOPLA, aynı yönde ÇIKAR.

Dairesel (Çembersel) Pistte Hareket

Dairesel pistte çevre uzunluğu 'aradaki mesafe' rolündedir. Ters yönde karşılaşma süresi = Çevre / (v1 + v2); aynı yönde tur bindirme süresi = Çevre / (v1 − v2). 'Başlangıç noktasında yeniden birlikte olma' sorusu farklıdır: her birinin tur süresini bul (çevre/hız), bunların EKOK'unu al. 'Herhangi bir yerde karşılaşma' bağıl hızla, 'başta birlikte olma' EKOK ile çözülür; ikisini karıştırma.

Tren Problemleri (Boy Ekleme Kuralı)

Tren noktasal değil, bir uzunluktur; bir cismi geçmek tüm trenin onu geride bırakması demektir. Direk/ağaç/duran insan gibi noktasal cisimde alınan yol = tren boyu. Köprü/peron/tünel gibi uzunluğu olan cisimde alınan yol = tren boyu + cisim boyu. İki tren birbirini geçerken yol = boyların toplamı; zıt yönde bağıl hız v1+v2, aynı yönde v1−v2. Köprü geçişinde tren boyunu eklemeyi unutmak en sık kaybedilen puandır.

Akıntı Problemleri (Tekne / Yüzücü)

Akıntılı suda v teknenin durgun su hızı, a akıntı hızı olsun. Akıntı yönünde (aşağı) etkin hız = v + a; akıntıya karşı (yukarı) etkin hız = v − a; motorsuz sal/kütük yalnızca sürüklendiği için hızı = a'dır. Akıntıya karşı ilerleyebilmek için v > a olmalı. İki yararlı sonuç: durgun su hızı = (aşağı + yukarı hız)/2; akıntı hızı = (aşağı − yukarı hız)/2. Gidiş-dönüşte süreler toplanır, hızlar değil.

Geç Kalma / Erken Varma

Aynı sabit mesafe iki farklı hızla kat edilir; mesafe her iki durumda da aynıdır. İki hız için süreleri yaz; aralarındaki süre farkı, geç kalma ve erken varma sürelerinin TOPLAMINA eşittir: (yavaş süre) − (hızlı süre) = (geç + erken). Önemli ayrıntı: hız km/saat ise süreyi saate çevir (örneğin 6 dakika = 1/10 saat). Bu denklemden mesafe, ardından gereken tam-zaman hızı bulunur.

KPSS Tuzakları (Hareket)

Birim uyumsuzluğu (km/saat ile saniye karıştırmak); ortalama hızı aritmetik sanmak (eşit yolda harmoniktir); yaklaşma ile kovalamayı karıştırmak (topla/çıkar); köprü/peron geçişinde tren boyunu unutmak; akıntı işaretini şaşırmak (yönünde +a, karşı −a); gidiş-dönüşte hızları toplamak (süreler toplanır); dakika-saat dönüşümünü atlamak; yetişme yönünü ters kurmak. Sorunun 'süre mi, yol mu, ortalama hız mı' istediğini net oku.

Hızlı örnek

Detaylı örnekler Worked Examples bölümünde.

Örnek çözümler

Konuyu soru üzerinden pekiştir

1 örnek

Mini Örnekler

ÖRNEK 1 (Temel Yol-Hız-Zaman - KOLAY)

SORU: Sabit hızla giden bir otomobil 90 km/saat hızla 270 km'lik yolu kaç saatte alır?

  • A) 1
  • B) 2
  • C) 3
  • D) 4
  • E) 5

ÇÖZÜM: Konunun temel bağıntısı: Yol = Hız × Zaman, dolayısıyla Zaman = Yol / Hız. Zaman = 270 / 90 = 3 saat.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Yol ile hızı çarpmaya (270 × 90) ya da bölmeyi ters kurmaya (90 / 270) kalkmak. Aradığın büyüklük zaman; o yüzden yolu hıza bölersin.

⏱️ Süre Tahmini: 15 saniye

ÖRNEK 2 (Birim Dönüşümü km/saat → m/sn - KOLAY)

SORU: 54 km/saat hızla giden bir tren, saniyede kaç metre yol alır?

  • A) 5
  • B) 9
  • C) 12
  • D) 15
  • E) 18

ÇÖZÜM: km/saat'ten m/sn'ye geçmek için sayıyı 5/18 ile çarparız (yani 3,6'ya böleriz). 54 × 5/18 = 270/18 = 15 m/sn.

🎯 Doğru Cevap: D

⚠️ Tuzak Analizi: Çarpanı ters kullanıp 18/5 ile çarpmak (194,4 gibi anlamsız bir sayı). Saniyedeki yol, saatteki sayıdan küçük olmalı; 54'ten küçük çıkan tek mantıklı sonuç 15'tir.

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 3 (Hız Bulma - KOLAY)

SORU: Bir koşucu 100 metrelik mesafeyi 20 saniyede koşuyor. Bu koşucunun hızı saniyede kaç metredir?

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 8
  • D) 10
  • E) 20

ÇÖZÜM: Hız = Yol / Zaman = 100 / 20 = 5 m/sn.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Yol ve zamanı çarpmak (100 × 20) ya da birimi km/saat'e çevirmeye çalışmak. Soru doğrudan m/sn istiyor, ek dönüşüme gerek yok.

⏱️ Süre Tahmini: 15 saniye

ÖRNEK 4 (Birbirine Doğru Hareket / Karşılaşma - KOLAY)

SORU: Aralarında 300 km bulunan iki şehirden, biri 60 km/saat diğeri 40 km/saat hızla, aynı anda birbirine doğru iki araç yola çıkıyor. Bu araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

  • A) 3
  • B) 5
  • C) 6
  • D) 10
  • E) 15

ÇÖZÜM: Birbirine doğru hareket olduğundan bağıl (yaklaşma) hız iki hızın toplamıdır: 60 + 40 = 100 km/saat. Karşılaşma süresi = Aradaki mesafe / Bağıl hız = 300 / 100 = 3 saat.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Hızları çıkarmak (60 − 40 = 20 → 300/20 = 15). Birbirine doğru harekette hızlar TOPLANIR; çıkarma yalnızca aynı yönde (kovalama) kullanılır.

⏱️ Süre Tahmini: 25 saniye

ÖRNEK 5 (Aynı Yönde Hareket / Yetişme - KOLAY)

SORU: Bir kamyon 50 km/saat sabit hızla gidiyor. Kamyonun 30 km gerisinden, aynı yönde 80 km/saat hızla bir otomobil yola çıkıyor. Otomobil kamyonu kaç saat sonra yakalar?

  • A) 0,5
  • B) 1
  • C) 1,5
  • D) 2
  • E) 3

ÇÖZÜM: Aynı yönde hareket olduğundan bağıl hız iki hızın farkıdır: 80 − 50 = 30 km/saat. Yetişme süresi = Aradaki mesafe / Bağıl hız = 30 / 30 = 1 saat.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Hızları toplamak (80 + 50 = 130). Aynı yönde gidenlerde aradaki fark, ancak hız FARKI kadar kapanır. Hızlıdan yavaşı çıkar.

⏱️ Süre Tahmini: 25 saniye

ÖRNEK 6 (Tren - Direği Geçme - KOLAY)

SORU: 150 metre uzunluğundaki bir tren, 25 m/sn sabit hızla bir elektrik direğini kaç saniyede geçer?

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 7
  • D) 8
  • E) 10

ÇÖZÜM: Direk noktasal bir cisimdir; treni tamamen geçmesi için alınan yol yalnızca tren boyu kadardır. Zaman = Tren boyu / Hız = 150 / 25 = 6 saniye.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Direğe bir uzunluk ekleyip yolu artırmak. Direk/ağaç/insan gibi noktasal cisimlerde alınan yol SADECE tren boyudur; ekleme yapılmaz.

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 7 (Akıntı - Akıntı Yönünde Hız - KOLAY)

SORU: Durgun sudaki hızı 10 km/saat olan bir tekne, akıntı hızı 2 km/saat olan bir ırmakta akıntı yönünde ilerliyor. Teknenin akıntı yönündeki etkin hızı kaç km/saattir?

  • A) 8
  • B) 10
  • C) 12
  • D) 14
  • E) 16

ÇÖZÜM: Akıntı yönünde gidildiğinde akıntı tekneye yardım eder, hızlar toplanır: Etkin hız = v + a = 10 + 2 = 12 km/saat.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Akıntı yönünde hızları çıkarmak (10 − 2 = 8). Çıkarma yalnızca akıntıya KARŞI giderken kullanılır; akıntı yönünde topla.

⏱️ Süre Tahmini: 20 saniye

ÖRNEK 8 (Ortalama Hız / Gidiş-Dönüş - ORTA)

SORU: Bir araç iki şehir arasındaki yolu giderken 60 km/saat, aynı yoldan dönerken 40 km/saat hızla gidiyor. Bu aracın tüm yolculuktaki ortalama hızı kaç km/saattir?

  • A) 45
  • B) 48
  • C) 50
  • D) 52
  • E) 55

ÇÖZÜM: Yol her iki yönde eşit olduğundan ortalama hız, hızların harmonik ortalamasıdır: Ortalama = (2 × v1 × v2) / (v1 + v2) = (2 × 60 × 40) / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48 km/saat. Sağlama: Yol 120 km olsun. Gidiş 120/60 = 2 saat, dönüş 120/40 = 3 saat. Toplam yol 240, toplam süre 5 saat; 240/5 = 48. ✅

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Hızların aritmetik ortalamasını almak: (60 + 40) / 2 = 50. Eşit yolda yavaş etapta daha çok zaman harcandığından ortalama, 50'den KÜÇÜK çıkar.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 9 (Yaklaşma / Kalan Mesafe - ORTA)

SORU: İki şehirden aynı anda birbirine doğru, biri 70 km/saat diğeri 50 km/saat hızla iki tren yola çıkıyor. 2 saat sonra aralarında hâlâ 40 km bulunduğuna göre, iki şehir arasındaki uzaklık kaç km'dir?

  • A) 240
  • B) 260
  • C) 280
  • D) 300
  • E) 320

ÇÖZÜM: İki tren 2 saatte birbirine yaklaşır; yaklaşma hızı 70 + 50 = 120 km/saat. 2 saatte kapanan mesafe = 120 × 2 = 240 km. Aralarında hâlâ 40 km olduğuna göre başlangıçtaki toplam mesafe = 240 + 40 = 280 km.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Kalan 40 km'yi eklemeyi unutup 240'ta kalmak (A şıkkı). Soru başlangıçtaki TÜM mesafeyi istiyor; kapanan kısma kalan kısmı eklemelisin.

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 10 (Tren - Köprü/Peron Geçme - ORTA)

SORU: 200 metre uzunluğundaki bir tren, 20 m/sn sabit hızla, uzunluğu 300 metre olan bir köprüyü tümüyle kaç saniyede geçer?

  • A) 10
  • B) 15
  • C) 20
  • D) 22
  • E) 25

ÇÖZÜM: Köprünün bir uzunluğu vardır; trenin köprüyü tamamen geçmesi için alması gereken yol, tren boyu + köprü boyudur: Alınan yol = 200 + 300 = 500 metre. Zaman = 500 / 20 = 25 saniye.

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Tren boyunu eklemeyi unutup yalnızca köprü boyu (300/20 = 15) ya da yalnızca tren boyu (200/20 = 10) üzerinden hesap yapmak. Köprü/peron/tünelde İKİ uzunluk toplanır.

⏱️ Süre Tahmini: 40 saniye

ÖRNEK 11 (Akıntı - Gidiş-Dönüş Süresi - ORTA)

SORU: Durgun sudaki hızı 12 km/saat olan bir tekne, akıntı hızı 4 km/saat olan bir ırmakta 48 km uzaklıktaki bir noktaya akıntı yönünde gidip aynı yoldan akıntıya karşı geri dönüyor. Yolculuğun tamamı kaç saat sürer?

  • A) 7
  • B) 8
  • C) 9
  • D) 10
  • E) 11

ÇÖZÜM: Akıntı yönündeki hız = 12 + 4 = 16 km/saat → gidiş süresi = 48 / 16 = 3 saat. Akıntıya karşı hız = 12 − 4 = 8 km/saat → dönüş süresi = 48 / 8 = 6 saat. Toplam süre = 3 + 6 = 9 saat.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Gidiş ve dönüş için tek bir ortalama hız (örneğin 12) kullanmaya çalışmak. İki yönde etkin hızlar farklıdır; her etabı ayrı hesapla, SÜRELERİ topla.

⏱️ Süre Tahmini: 50 saniye

ÖRNEK 12 (Dairesel Pist - Aynı Yön / Tur Bindirme - ORTA)

SORU: Çevresi 400 metre olan dairesel bir pistte, iki koşucu aynı noktadan aynı yönde, biri 9 m/sn diğeri 5 m/sn hızla koşmaya başlıyor. Hızlı koşucu, yavaş koşucuya kaç saniye sonra tam bir tur bindirir?

  • A) 50
  • B) 80
  • C) 100
  • D) 200
  • E) 400

ÇÖZÜM: Aynı yönde olduklarından aralarındaki fark, hız farkıyla açılır: 9 − 5 = 4 m/sn. Bir tur bindirmek, aradaki farkın tam bir çevre (400 m) olması demektir: Süre = Çevre / Hız farkı = 400 / 4 = 100 saniye.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Hızları toplamak (9 + 5 = 14). Toplama yalnızca ZIT yönde dönüldüğünde (karşılaşma) kullanılır; aynı yönde tur bindirmede hız FARKI esastır.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 13 (Geç Kalma / Erken Varma - ORTA)

SORU: Bir servis okula 40 km/saat sabit hızla giderse 9 dakika geç kalıyor, 60 km/saat sabit hızla giderse 6 dakika erken varıyor. Servisin gittiği yol kaç km'dir?

  • A) 24
  • B) 28
  • C) 30
  • D) 36
  • E) 40

ÇÖZÜM: İki durumda da mesafe aynıdır. Süre farkı = 9 + 6 = 15 dakika = 1/4 saat. Yola d dersek: d/40 − d/60 = 1/4. Paydaları 120'de eşitle: 3d/120 − 2d/120 = d/120 = 1/4, buradan d = 30 km. Sağlama: 40 ile süre 30/40 = 45 dk; 60 ile süre 30/60 = 30 dk; fark 15 dk. ✅

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Dakikayı saate çevirmemek (15'i doğrudan denkleme koymak) ya da geç ile erken sürelerini çıkarmak. İkisi zıt yönde sapma olduğundan TOPLANIR: 9 + 6 = 15.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 14 (İki Trenin Birbirini Geçmesi - ORTA)

SORU: Boyları 120 metre ve 180 metre olan iki tren, birbirine zıt yönde, biri 15 m/sn diğeri 10 m/sn hızla ilerliyor. İki tren birbirini tümüyle kaç saniyede geçer?

  • A) 10
  • B) 12
  • C) 15
  • D) 18
  • E) 20

ÇÖZÜM: İki tren birbirini geçerken alınan yol, iki boyun toplamıdır: 120 + 180 = 300 metre. Zıt yönde gittiklerinden bağıl hız hızların toplamıdır: 15 + 10 = 25 m/sn. Zaman = 300 / 25 = 12 saniye.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Yalnızca bir trenin boyunu almak ya da zıt yönde hızları çıkarmak. İki tren geçişinde boylar TOPLANIR; zıt yönde hızlar da TOPLANIR.

⏱️ Süre Tahmini: 45 saniye

ÖRNEK 15 (Dairesel Pist - Başlangıçta Birlikte Olma / EKOK - ORTA)

SORU: Çevresi 360 metre olan dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda hareket eden iki koşucudan biri 4 m/sn, diğeri 6 m/sn hızla aynı yönde koşuyor. İkisi ilk kez kaç saniye sonra yeniden başlangıç noktasında aynı anda buluşur?

  • A) 120
  • B) 150
  • C) 180
  • D) 240
  • E) 360

ÇÖZÜM: Her koşucunun bir tam tur süresi: 360/4 = 90 sn ve 360/6 = 60 sn. İkisinin de aynı anda tam tur tamamlayıp başlangıçta olabilmesi için geçen süre, tur sürelerinin EKOK'udur: EKOK(90, 60) = 180 saniye.

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: Tur sürelerini toplamak (90 + 60 = 150) ya da hız farkıyla çözmeye çalışmak. "Başlangıç noktasında birlikte olma" sorusu yalnızca tur sürelerinin EKOK'u ile çözülür.

⏱️ Süre Tahmini: 60 saniye

ÖRNEK 16 (Buluşma Sonrası Varış Süreleri - ZOR)

SORU: İki araç A ve B şehirlerinden aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A aracı B şehrine 4 saatte, B aracı A şehrine 9 saatte varıyor. Buna göre araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 6,5
  • D) 7
  • E) 13

ÇÖZÜM: İki araç aynı anda çıkıp karşılaştığında, karşılaşmaya kadar geçen süre t ise, karşılaşmadan sonraki varış süreleri t1 ve t2 için şu bağıntı geçerlidir: t = karekök(t1 × t2) = karekök(4 × 9) = karekök(36) = 6 saat. Mantığı: Karşılaşmaya kadar A, vA · t yol alır; bu yolu B karşılaşmadan sonra t2 = vA·t/vB sürede alır. Benzer şekilde t1 = vB·t/vA. Çarpımları t1 · t2 = t² verir.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Varış sürelerini toplamak (4 + 9 = 13) ya da aritmetik ortalamasını almak ((4 + 9)/2 = 6,5). Doğru ilişki çarpımın kareköküdür: karekök(4·9) = 6.

⏱️ Süre Tahmini: 70 saniye

ÖRNEK 17 (Akıntı + Sal Birleşik - ZOR)

SORU: Bir ırmakta motorsuz bir sal, 40 km'lik yolu 20 saatte sürüklenerek alıyor. Aynı ırmaktaki bir tekne ise bu 40 km'lik yolu akıntı yönünde 2 saatte alıyor. Buna göre tekne aynı yolu akıntıya karşı kaç saatte alır?

  • A) 2
  • B) 2,5
  • C) 3
  • D) 3,5
  • E) 4

ÇÖZÜM: Sal yalnızca akıntıyla sürüklendiğinden akıntı hızı = 40 / 20 = 2 km/saat. Teknenin akıntı yönündeki etkin hızı = 40 / 2 = 20 km/saat; bu, v + a olduğundan durgun su hızı = 20 − 2 = 18 km/saat. Akıntıya karşı etkin hız = 18 − 2 = 16 km/saat → süre = 40 / 16 = 2,5 saat.

🎯 Doğru Cevap: B

⚠️ Tuzak Analizi: Akıntı yönündeki süreyi (2 saat) doğrudan cevap sanmak ya da durgun su hızını (18) akıntıya karşı hız olarak kullanmak. Akıntıya karşı hız, durgun su hızından akıntı kadar EKSİKtir.

⏱️ Süre Tahmini: 80 saniye

ÖRNEK 18 (Tren - İki Aşamadan Boy Bulma - ZOR)

SORU: Sabit hızla giden bir tren, bir direği 8 saniyede, uzunluğu 240 metre olan bir peronu ise 20 saniyede tümüyle geçiyor. Buna göre trenin boyu kaç metredir?

  • A) 100
  • B) 120
  • C) 140
  • D) 150
  • E) 160

ÇÖZÜM: Trenin boyu L, hızı v olsun. Direği geçme: L = v · 8. Peronu geçme: L + 240 = v · 20. İkinci denklemden birinciyi çıkaralım: 240 = v · 20 − v · 8 = v · 12, buradan v = 20 m/sn. Tren boyu = v · 8 = 20 · 8 = 160 metre. Sağlama: Peronu geçerken alınan yol 160 + 240 = 400 m; 400 / 20 = 20 saniye. ✅

🎯 Doğru Cevap: E

⚠️ Tuzak Analizi: Önce hızı bulmadan boya geçmeye çalışmak. İki bilinmeyen (boy ve hız) için iki denklem kurup farklarını almak, hızı tek adımda verir.

⏱️ Süre Tahmini: 80 saniye

ÖRNEK 19 (Ortalama Hız - Üç Eşit Etap - ZOR)

SORU: Bir araç bir yolu üç eşit parçaya bölüp birinci parçayı 30 km/saat, ikinci parçayı 40 km/saat, üçüncü parçayı 60 km/saat hızla gidiyor. Aracın tüm yoldaki ortalama hızı kaç km/saattir?

  • A) 40
  • B) 42
  • C) 43,33
  • D) 45
  • E) 48

ÇÖZÜM: Yolu somutlaştıralım: her parça 120 km (toplam 360 km) olsun. Süreler: 120/30 = 4 saat, 120/40 = 3 saat, 120/60 = 2 saat. Toplam süre = 4 + 3 + 2 = 9 saat. Ortalama hız = Toplam yol / Toplam süre = 360 / 9 = 40 km/saat.

🎯 Doğru Cevap: A

⚠️ Tuzak Analizi: Üç hızın aritmetik ortalamasını almak: (30 + 40 + 60)/3 = 43,33. Eşit yolda ortalama hız aritmetik ortalama DEĞİLDİR; daima toplam yol / toplam süre kullan.

⏱️ Süre Tahmini: 75 saniye

ÖRNEK 20 (Geç/Erken'den Tam Zaman Hızı - ZOR)

SORU: Bir öğrenci okula 40 km/saat hızla giderse 5 dakika geç kalıyor, 60 km/saat hızla giderse 5 dakika erken varıyor. Öğrencinin okula tam zamanında varabilmesi için hızının kaç km/saat olması gerekir?

  • A) 44
  • B) 45
  • C) 48
  • D) 50
  • E) 52

ÇÖZÜM: Süre farkı = 5 + 5 = 10 dakika = 1/6 saat. Yola d dersek d/40 − d/60 = 1/6. 3d/120 − 2d/120 = d/120 = 1/6, buradan d = 20 km. 40 km/saat ile süre = 20/40 = 0,5 saat = 30 dk; 5 dk geç olduğundan tam zamanlı süre = 30 − 5 = 25 dakika = 25/60 saat. Gereken hız = 20 / (25/60) = 20 · 60 / 25 = 48 km/saat. Sağlama: 60 km/saat ile süre 20 dk; 25 − 20 = 5 dk erken koşulu da sağlanır. ✅

🎯 Doğru Cevap: C

⚠️ Tuzak Analizi: İki hızın aritmetik ortalamasını (40 + 60)/2 = 50 cevap sanmak. Tam zaman süresi, hızların ortalamasından değil, gerçek mesafe ve gerçek süreden hesaplanır; doğru sonuç 48'dir.

⏱️ Süre Tahmini: 90 saniye

Başlangıç önerisi

Önce konu özetini ve örnek çözümleri incele, sonra testten başla. Giriş yaparsan çalışma planı ve streak takibi otomatik aktif olur.

Konu Testi

KPSS Matematik Hareket Problemleri Test Çöz | KpssAsistanım | KpssAsistanım