EBOB ve EKOK — KPSS Matematik Konu Anlatımı

İki otobüs aynı duraktan farklı aralıklarla kalkıyor; ne zaman yeniden yan yana gelirler? Bir terzi iki top kumaşı hiç fire vermeden en uzun eşit parçalara bölüyor; parça kaç metre? Birbirine kenetli iki dişli çark ilk kez ne zaman başladığı yere döner? Bu üç soru günlük hayattan gelir ama hepsinin altında tek bir mekanik yatar: sayıları asal çarpanlarına ayırmak. Bu konuda iki kelime her şeyi belirler — biri böler, diğeri buluşturur:

🔑 İki Altın Cümle EBOB = ortak asal çarpanların EN AZ adedinin çarpımı (en büyük ortak bölen) → böler / paylaştırır. EKOK = tüm asal çarpanların EN ÇOK adedinin çarpımı (en küçük ortak kat) → buluşturur / tekrarlar.

Sorunun "böl mü, buluş mu?" istediğini anladığın an, işin yarısını çözmüş olursun.

---

KPSS'de Bu Konu Nerede Duruyor?

EBOB-EKOK, "Sayılarla İşlemler" başlığının en gözde, en "garanti puan" alt konusudur; neredeyse her yıl gelir.

• ÖSYM ortalama 1-2 soru doğrudan EBOB-EKOK ve uygulamalarından (kalanlı bölme, dişli, buluşma) sorar.
• Yelpaze geniştir: bir uçta "EBOB(12, 18) kaç?", diğer uçta "üç dişlinin başa dönmesi".
• Tamamı asal çarpanlara ayırma becerisinin uygulamasıdır; temeli sağlam olan puan bırakmaz.

📊 En sık gelen beş alt başlık

1. Doğrudan EBOB/EKOK bulma
2. EBOB problemleri (eşit paylaştırma, en uzun parça)
3. EKOK problemleri (birlikte tekrar, tur, zil)
4. Kalanlı bölme ("hep r kalan en küçük sayı")
5. EBOB × EKOK = a × b ile sayı bulma

🎯 Sınav Refleksi: Soru ne kadar uzun olursa olsun ilk hamlen sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Sonra tek soru: "Bu soru BÖLME mi (EBOB) yoksa TEKRAR mı (EKOK) istiyor?"

---

1. Temel Taşlar: Bölen, Kat, Asal Çarpan

Bölen ve Kat

• Bölen: Bir sayıyı kalansız bölen sayılar. 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Kat: Bir sayının tam katları. 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, ...

Asal Çarpanlara Ayırma — Bütün Konunun Anahtarı

Her doğal sayı, asalların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır. En küçük asaldan başlayarak bölersin:

60 = 2 * 2 * 3 * 5
72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3

💡 Püf Noktası: Bu derste üs (kuvvet) yerine tekrarlı çarpma yazıyoruz: 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 (üç tane 2, iki tane 3). Çünkü EBOB-EKOK aslında bir "kaç tane?" sayma oyunudur; çarpanları tek tek görmek "en az / en çok"u kolaylaştırır.

---

2. EBOB — En Büyük Ortak Bölen

İki ya da daha çok sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür:

EBOB = ORTAK asal çarpanların, her birinin EN AZ bulunduğu adedinin çarpımı.

📐 Çözümlü Örnek 1: EBOB(24, 36)? 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3. Ortak: en az iki tane 2 ve bir tane 3. EBOB = 2 * 2 * 3 = 12. (24 ve 36'yı birlikte kalansız bölen en büyük sayı.)

💡 Püf Noktası: EBOB'da anahtar kelime "en az". Ortak bir çarpanın az bulunan adedini alırsın. Hiç ortak çarpan yoksa EBOB = 1'dir; bu sayılar aralarında asaldır.

---

3. EKOK — En Küçük Ortak Kat

İki ya da daha çok sayının ortak katlarının en küçüğüdür:

EKOK = TÜM asal çarpanların, her birinin EN ÇOK bulunduğu adedinin çarpımı.

📐 Çözümlü Örnek 2: EKOK(24, 36)? 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3. En çok: üç tane 2 (24'te), iki tane 3 (36'da). EKOK = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72.

🎯 Sınav Refleksi (karıştırmamak için): "EBOB en az → küçük çıkar; EKOK en çok → büyük çıkar." Bu tek cümle ikisini ayırır.

---

4. Altın Bağıntı: EBOB × EKOK = a × b

İki sayı için son derece güçlü bir ilişki vardır:

🔑 EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b

📐 Çözümlü Örnek 3: İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72. Çarpımları? a * b = 6 * 72 = 432.

Buradan bilmediğin büyüklüğü çekersin:

EBOB = (a * b) / EKOK        EKOK = (a * b) / EBOB
Bir sayı = (EBOB * EKOK) / diğer sayı

⚠️ Sık Hata: Bu bağıntı yalnızca iki sayı için geçerlidir; üç sayıda KULLANILMAZ. "EBOB, EKOK, biri ya da çarpımı verilmiş" tipli iki-sayı sorularının neredeyse tamamı bu tek bağıntıyla çözülür.

---

5. İki Sayıyı Bulma ve Aralarında Asallık

EBOB'u d olan iki sayı d * m ve d * n biçimindedir; burada m ile n aralarında asaldır:

Sayılar: d * m  ve  d * n      (m, n aralarında asal)
EKOK = d * m * n
Toplam = d * (m + n)        Fark = d * (m − n)

Aralarında asal sayılar EBOB'u 1 olanlardır; bu durumda EKOK = a * b. Örneğin 8 ile 15: EBOB = 1, EKOK = 120.

📐 Çözümlü Örnek 4: EBOB'u 6, EKOK'u 360 olan iki sayının toplamı en az kaçtır? 6 * m * n = 360 → m * n = 60. Aralarında asal çiftler: (1,60), (3,20), (4,15), (5,12). Toplam = 6 * (m + n); en küçük toplam m ile n en yakın olduğunda: (5,12). Toplam = 6 * 17 = 102 (sayılar 30 ve 72).

💡 Püf Noktası: Toplam/fark EN AZ isteniyorsa m, n birbirine en yakın çift; EN ÇOK isteniyorsa en uzak çift (genelde 1 ve k). Bu küçük ayrıntı "en az/en çok" sorularının tamamını çözer.

---

6. EBOB Problemleri — Bölme / Paylaştırma

Soruda bölme, eşit paylaştırma, en uzun/en büyük ortak ölçü varsa cevap EBOB'tur.

📊 EBOB işaretleri: "en fazla", "en büyük", "eşit/kalansız böl ya da grupla", "en uzun parça", "her birinden eşit sayıda", "en geniş".

📐 Çözümlü Örnek 5: 36 kalem ile 48 silgi, hiç artmadan eşit olarak en fazla kaç öğrenciye dağıtılır? EBOB(36, 48): 36 = 2233, 48 = 22223, ortak 22*3 = 12 öğrenci. (Her biri 3 kalem, 4 silgi alır.)

⚠️ Sık Hata (çok adımlı): "Kaç parça/kare/kutu" sorulduğunda önce EBOB'u (ölçüyü) bul, sonra her boyutu EBOB'a böl: parça sayısı için topla, kare/küp sayısı için çarp. Soru ölçüyü mü, adedi mi istiyor — ayır.

---

7. EKOK Problemleri — Tekrar / Buluşma

Soruda birlikte/aynı anda tekrar, en küçük ortak kat varsa cevap EKOK'tur.

📊 EKOK işaretleri: "en az", "en küçük", "aynı anda yine/birlikte", "kaç ... sonra tekrar beraber", "tur", "zil", "ışık periyodu".

📐 Çözümlü Örnek 6: İki otobüs 20 ve 36 dakikada bir kalkıyor. 08:00'de birlikte kalktılar; ilk kez saat kaçta yeniden birlikte kalkarlar? EKOK(20, 36): 20 = 225, 36 = 2233, en çok 2233*5 = 180 dakika = 3 saat. 08:00 + 3 = 11:00.

⚠️ Sık Hata (çok adımlı): "Saat kaçta" için EKOK'u başlangıca ekle; "süre içinde kaç kez" için süreyi EKOK'a böl; "kaçıncı kez" için EKOK'u kat say. Birimleri (dakika ↔ saat ↔ gün) dikkatle çevir; "yeniden/bir sonraki" deniyorsa başlangıç anını sayma.

---

8. Kalanlı Bölme — İki Kalıbı Ayırt Et

KPSS'nin en sevdiği EKOK uygulamasıdır. İki kalıp vardır:

Kalıp 1 — Kalanlar EŞİT (sayı = EKOK * k + r)

Bir sayı a, b, c'ye bölündüğünde her seferinde aynı r kalıyorsa:

Sayı = EKOK(a, b, c) * k + r      →   en küçük (r'den büyük) = EKOK + r

📐 Çözümlü Örnek 7: 4, 6 ve 9'a bölününce hep 2 kalan en küçük sayı? EKOK(4, 6, 9) = 36 → en küçük = 36 + 2 = 38.

Kalıp 2 — Bölen ile Kalan FARKI Sabit (sayı = EKOK * k − d)

Her bölende bölen − kalan = d sabit ise:

Sayı = EKOK(a, b, c) * k − d      →   en küçük = EKOK − d

📐 Çözümlü Örnek 8: 4'e bölününce 3, 6'ya bölününce 5 kalan en küçük sayı? (4−3 = 1, 6−5 = 1; fark sabit 1.) EKOK(4, 6) = 12 → en küçük = 12 − 1 = 11. (11/4 = 2 kalan 3 ✅, 11/6 = 1 kalan 5 ✅.)

🎯 Sınav Refleksi: Önce kalanlara bak: eşitlerse EKOK'a EKLE, bölenle farkları sabitse EKOK'tan ÇIKAR. "Üç basamaklı en küçük" gibi kısıt varsa uygun k'yi seçersin.

---

9. İleri Tipler (Zor Sorular)

Bölen Sayısı

Bir sayının kaç pozitif böleni olduğunu bulmak için her asal çarpanın adedine 1 ekleyip çarparsın:

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3  (üç tane 2, iki tane 3)
Bölen sayısı = (3 + 1) * (2 + 1) = 4 * 3 = 12

İki sayının ortak bölenleri EBOB'larının bölenleridir; ortak bölen sayısı = EBOB'un bölen sayısı.

Tam Kareye / Tam Küpe Tamamlama

Tam kare için her asal çarpan çift adette olmalı; tam küp için adetler 3'ün katı olmalı. Eksik olanları tamamlarsın:

72 = 2*2*2*3*3 → 2 üç tane (tek), 3 iki tane (çift)
Tam kare için bir tane 2 daha → 72 * 2 = 144 = 12 * 12

Dişli Çarklar

Kenetli iki çark ilk kez birlikte başa döndüğünde diş sayılarının EKOK'u kadar diş dönmüştür. Bir çarkın tur sayısı = EKOK / kendi diş sayısı.

💡 Püf Noktası: Bu ileri tipler zor görünür ama hepsi yine asal çarpanlara ayırma ile başlar. Bölen sayısı, tam kare ve dişli; sadece "adet sayma" işidir.

---

10. ÖSYM'nin Gizli Havuzu — Çıkmış Soru Tipleri

Tip 1 — Doğrudan EBOB/EKOK: İki-üç sayı için ortak bölen/kat. Çarpanlara ayır, "en az / en çok" seç.

Tip 2 — Paylaştırma (EBOB): "En fazla kaç kişiye eşit dağıtılır / en uzun parça". Ölçü = EBOB; adet için her boyutu EBOB'a böl.

Tip 3 — Buluşma (EKOK): "En az kaç sonra yine birlikte / saat kaçta". Periyot = EKOK; başlangıca ekle, birimi çevir.

Tip 4 — Kalanlı Bölme: "Hep r kalan / bölen−kalan sabit en küçük sayı". Kalan eşit → EKOK + r; fark sabit → EKOK − d.

Tip 5 — İki Sayı Bağıntısı: EBOB, EKOK, biri ya da çarpımı verilmiş → EBOB * EKOK = a * b (yalnız iki sayı).

Tip 6 — En Az/En Çok Toplam: d * m, d * n kurgusu; en az toplam için m, n en yakın aralarında asal çift.

🎯 Sınav Refleksi: Soruyu okurken bu altı etiketten birini yapıştır; tip hem yöntemi hem de "böl mü buluş mu?" yönünü önceden söyler.

---

11. On Ölümcül Tuzak

⚠️ Bu konuda kaybedilen puanların neredeyse tamamı buradan gelir:

1. EBOB ile EKOK'u karıştırmak (böl/paylaştır → EBOB; buluş/tekrarla → EKOK).
2. EBOB'da "en çok", EKOK'ta "en az" almak (tam tersi: EBOB en az, EKOK en çok).
3. Kalanlı bölmede yanlış kalıp (kalan eşit → EKOK + r; fark sabit → EKOK − d).
4. "Kaç parça/kişi" yerine ölçüyü (EBOB'u) vermek.
5. Birim çevirmemek (dakika–saat–gün).
6. Üç sayıda EBOB × EKOK = a × b sanmak (yalnız iki sayı).
7. "En az/en çok toplam"da yanlış çift (en az → en yakın; en çok → en uzak).
8. Buluşmada başlangıcı saymak ("yeniden" deniyorsa ilk an sayılmaz).
9. Aralarında asalda EKOK'u yanlış almak (EBOB = 1 → EKOK = çarpım).
10. Tam kare/küpte eksik çarpan (tek adetli asalların HEPSİ tamamlanır).

---

12. Beş Adımlık Algoritma + Formül Tablosu

🎯 Her soruda izle:

1. Asal çarpanlara ayır — sorudaki sayıları çarpan çarpımı yaz (asla atlama).
2. EBOB mu, EKOK mu? Bölme/paylaştırma mı, tekrar/buluşma mı — anahtar kelimeleri ara.
3. Hesapla — EBOB: ortak çarpanların en azı; EKOK: tüm çarpanların en çoğu.
4. Ek adım var mı? "Kaç parça / saat kaçta / kaç kez / kalan ekle-çıkar / tur sayısı".
5. Kontrol et — sayı mı ölçü mü, birim doğru mu, başlangıcı saydın mı?

📊 Formül Özeti

• EBOB: ortak asal çarpanların EN AZ adedi ; EKOK: tüm asal çarpanların EN ÇOK adedi.
• EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b (yalnız iki sayı) ; aralarında asal → EBOB = 1, EKOK = a * b.
• İki sayı: d * m, d * n (m, n aralarında asal); EKOK = dmn, toplam = d(m+n), fark = d(m−n).
• Kalan eşit: EKOK * k + r (en küçük EKOK + r) ; fark sabit: EKOK * k − d (en küçük EKOK − d).
• Bölen sayısı: her asalın adedine 1 ekle, çarp ; ortak bölen sayısı = EBOB'un bölen sayısı.
• Dişli: ilk birlikte dönüş = EKOK(diş) ; tur sayısı = EKOK / diş.

---

Kapanış — "Böl mü, Buluş mu?" Sorusunu Kazandın

Buraya kadar geldiysen artık her EBOB-EKOK sorusunun önce asal çarpanlara ayırmakla başladığını ve gerisinin yalnızca "en az / en çok" seçmek olduğunu biliyorsun. Bu konu zekâdan çok doğru çarpanlara ayırma ve "böl mü, buluş mu?" ayrımı ister.

🔑 Son hatırlatma: Önce asal çarpanlara ayır — sonra "böl mü (EBOB), buluş mu (EKOK)?" diye sor.

Şimdi bol soru çöz; her yanlışında "hangi tuzağa düştüm?" diye bu rehbere dön. Burada kazandığın "asal çarpanlara ayırma ve bölünebilme" becerisi seni az sonra Rasyonel Sayılar, Bölünebilme ve Sayı Problemleri'nde de bekliyor — aynı refleksi oraya taşıyacaksın. 💪